摘要
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3Blue1Brown 通过等待瓢虫首次到达目标数字的邻居，解答钟面谜题。11 个可能的最后数字对应同一个随机游走问题，因此各自的概率都是 1/11。
- 1看似均等的结果模拟显示，11 个可能的最后数字似乎机会均等。
- 2等待到达邻居瓢虫最终会以概率 1 到达目标数字的一个邻居。
- 3化为随机游走从那里出发，相关随机游走必须先到 +10 而不是 −1。
- 4每个数字的概率都是 1/11同一个论证适用于起点之外的每个数字。
要点建议
- 模拟显示，11 个可能的最后数字似乎机会均等。
- 瓢虫最终会以概率 1 到达目标数字的一个邻居。
- 从那里出发，相关随机游走必须先到 +10 而不是 −1。
- 同一个论证适用于起点之外的每个数字。
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01
钟面谜题
瓢虫的随机游走会把钟面上的数字染色。
一只瓢虫从钟面上的 12 出发，每一步以相同概率顺时针或逆时针移动。它碰到的数字都会变红。数字 6 最后一个变红的概率是多少？
我多次模拟随机游走并记录最后一个数字，发现 1 到 11 似乎都有差不多的机会。这有些出乎意料：人们可能会以为起点对面的 6 比靠近起点的 1 或 11 更不可能最后被碰到。
02
等待到达邻居
从首次到达目标数字任一邻居的时刻重新考虑问题。
关键是先等待瓢虫首次到达 6 的任一邻居，也就是 5 或 7。这一时刻最终会以概率 1 出现，因此等待它不会改变最终结果的概率。
假设它先到达 7。要让 6 最后变红，它必须从另一侧绕过去，先到达尚未碰到的 5，而不能先碰到 6。这相当于在逆时针净走一步之前，先顺时针净走十步。一旦这样到达 5，其他数字就都已经变红。
03
所有数字的概率相同
每个可能的最后数字都对应同一个随机游走问题。
把钟面拉直，就得到一个随机游走：每一步以相同概率取 +1 或 −1，问题是在到达 −1 之前能否先到达 +10。完成这个论证并不需要直接计算这一概率。
这个论证中没有什么是 6 独有的。对于 3，可以等待瓢虫先到达 2 或 4；此后仍然是同一个先净走十步还是反向净走一步的问题。1 到 11 中每个数字最后出现的概率都相同，因此各自都是 1/11。
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