Grant Sanderson：现在是投身数学的最好时机

Grant 说，数学界正在热烈讨论 AI，几乎到了火烧眉毛的程度。他已经思考这个问题很久了。上周征集问题后，许多回复来自学生：博士生、本科生，以及原本打算研究数学或相邻理论领域的人。他们都在问，接下来该怎么办。

有人担心数学已经死了，或者已经解决了，又或者无论它变成什么样，都不会再有意思。教授们也纷纷摊手：该怎么跟学生说？有一条评论尤其能代表大家的心情。

“数学博士在这里，直接告诉我明天该干什么吧。”Grant 想论证一个观点，也希望你判断是否认同：现在是投身数学、资助数学的最好时机。他认为，最剧烈的改变将是如何认定学术贡献。即便假设机器能做数学家目前做的一切，而且做得更好，数学这套制度本身也会出人意料地保持完整。

他的框架很简单，也可以套到任何职业上：列出数学家实际做的事，列出数学给世界带来价值的方式，再看经费从哪里来，以及后两者如何关联。把 AI 纳入之后，就逐项设想：如果机器更擅长其中某项任务，或者所有任务，会发生什么？

他不打算声称自己能预测未来，这期视频的不确定性很大。他也没有任何利益需要把更多人塞进数学学界。恰恰相反，他一直认为，太多学生出于错误的理由读博：如果从小就擅长读书，学校会让人感到舒服，而博士学位仿佛只是把这种生活再延长一些。

更好的问题是，你希望如何为别人创造价值，又该怎样运用并发展自己的能力。学术研究可能是答案，也可能不是。现在离开学界的许多人，是因为觉得 AI 安全更值得投入。如果你属于这一类，他说，那很好，去做吧。

他想对话的是那些因恐惧而考虑离开的人：害怕这个职业不再存在，或者即使留下来，也不会喜欢它剩下的样子。他相信它会继续存在，有望比以往更有用，也仍然能让人感到快乐。

数学研究包含什么？最明显的是证明定理。许多人把大量时间花在这里，也因此有了那个老笑话：数学家是一台把咖啡变成定理的机器。但大家早就知道，这不是全部，而如今，这两者之间的差距成了讨论的核心。

有句很妙的话：优秀的数学家证明定理，伟大的数学家提出猜想，最伟大的数学家写下定义。因此，除了证明，还需要品味：判断什么值得问，感知一个想法是否足够有趣，能产生好数学。Grant 没有沿用“写定义”，而是把第三类称为构建理论。

你可能已经拥有一堆证明过的定理，或者知道哪些问题值得追问，却仍然想要更广阔的东西：理解究竟发生了什么。Descartes 引入笛卡尔坐标时，与其说是在回答某个问题，不如说是提供了一整套思考框架。

Galois 播下群论的种子时，其意义很大程度上并不在于五次方程不可解，而在于一种理解问题的新方式。它催生了此后数百年都很有用的数学。Grothendieck 也是这样的例子。

Grothendieck 曾打过一个比方：要从一座山顶到另一座山顶，你可以解决沿途所有问题，下山再上山；也可以让山峰之间涨起一片海，乘船过去。这片上升的海就是理论：它不是某一条定理，而是一种更深刻的整体理解。

还有应用：弄清楚抽象概念如何接入科学与工程。贯穿所有这些工作的还有交流。把一个证明一股脑倒出来并不够，你得说明为什么要这样做。构建理论也不只是列出定义；伟大的数学家会传达这些结构为什么值得研究，也把自己的品味传递给别人。

价值在哪里？最明显的一类是科学和工程中的应用。纯数学研究者会在申请经费时写道，应用可能要几十年甚至几个世纪后才出现。经典例子是，16 世纪的意大利人试图解三次方程，其中一个古怪技巧，是认真对待负数的平方根。

让这套理论再发展几个世纪，就有了虚数，它存在于量子力学、电气工程、波动理论，几乎无处不在。对 Euclid 第五公设的追问带来非欧几何，继而带来广义相对论。追求 Fermat 大定理的证明推动了代数几何和椭圆曲线，后来它们又用于密码学。大家很喜欢列举这些例子。

第二类价值属于个人，而非整个社会。数学训练能留下高度可迁移的解题能力。经济中的许多人从事计算机科学、机器学习、AI 安全、金融、密码学，都学过不少数学，可能只上过几门课，也可能读过博士却没留在数学界。寻找恰当抽象的思维方式，似乎让他们在其他领域也更有价值。

第三类价值常常受到忽视，而 Grant 认为，我们以后应该更加重视它：审美。单纯做数学就会带来快乐。他熟悉一种特定的感受，像脑中有什么东西突然咔哒一声接上了：一道好题显露出解法，或者一个新理论融会贯通，让你换了一种完全不同的思路。

许多数学都有这种重塑思维的感觉。上过线性代数的人，往后说话都会有一点不一样，开始把想法叫作“正交”。深入学习范畴论的人，有时会觉得自己的大脑整个翻转过来，却又十分满足。问数学家为什么入行，许多人真正的理由就是这种艺术般的愉悦。

这也解释了为什么数学界对 AI 的反应，与艺术家面对 AI 艺术的反应如此相似：感觉自己的艺术形式受到了侵犯。但如果我们谈的是职业，而非爱好，没有经费，一切都无从谈起。

钱从哪里来？很大一块来自教学：数学家担任教授，所在院系服务的学生远不止数学专业，对学分和学费的贡献也格外大。然后是公共资助，在美国主要是 NSF 拨款；还有 Simons Foundation 这样的私人机构，有时也有企业资金。

其中，教学是最大的经费来源。与其他科学相比，这是数学有些特别的地方：研究成本相对低，经过数学系的学生又来自广泛的专业。在追问 AI 如果超越人类的某些研究能力会怎样之前，先弄清价值与经费如何连接，会更有帮助。

解题本领和审美乐趣属于个人收益，享受它们的是亲自做数学的人。公共资助不是为了供养一个小圈子里体面的爱好。更准确的图景是，这两种收益通过教学，进入了经费链条。

走在数学系走廊里的学生，大多希望培养技术性的解题能力，将来能用于其他地方。有些人也为审美乐趣而来，Grant 就是。他知道这些能力总体上很有用，这让他安心；但诚实地说，他获得的许多价值，其实来自审美。

整个社会从后续应用中受益，但共享的收益不止这些。数学科普，这个频道、Numberphile、公开演讲，都在尝试更广泛地分享审美乐趣。虽然人人申请经费都围绕应用来写，Grant 认为，更大的正外部性或许是这套制度培养了具有某种解题能力的人。

它把来自世界各地的人吸引到优秀大学，其中大多数后来并不会成为数学家，而是带着可迁移的能力，流向经济中其他有用的领域。他认为，单是这一点，就足以让投入这套制度的钱获得可观回报，前提是它确实训练出了良好的解题能力，而且这些能力确实可以迁移。

现在进入核心：如果 AI 在各项研究工作上都变强，会怎么样？在讨论第一项，也就是机器比数学家更擅长证明定理之前，他想总结一下刚刚发生的变化。从大约 2025 年年中开始，3Blue1Brown 一直有个低调进行的项目，采访数学家，记录他们的感受。

一个总体结论是：在任何时间截面上，人们高估了它的位置，却没有高估它的速度。2023 年，一位朋友发消息问他，DeepMind 是不是已经碾压了奥数几何？当时确实有模型能回答 IMO 难度的几何题。诚实的回答是：某种程度上是，但不是我们通常所说的那种解题方式。它显得依赖专门设计和暴力搜索，而这些题本来应该需要创造力。

再过几年，自然语言模型，甚至不是那些专用模型，也已经能以任何合理标准解决 IMO 难度的题目。今年早些时候，Erdős 问题的证明开始出现。这些题由 Paul Erdős 提出，他很善于判断什么样的猜想有意思；它们列成了一张清单，自然成了模型公司喜欢的评测对象。

最初，许多人提醒要仔细看：这些是容易摘到的果子，是没人尝试过的题，或者早就解决却记录不全的问题，模型只是重新包装答案，还漏掉了归功。到了现在，没人再这么说了。这些是数学家认真努力研究过的难题，而大语言模型正在给出证明。

即使不谈 OpenAI 那些登上头条的成果，比如 Navier–Stokes 研究和一次公布的数百道题，这一点也成立。和一线数学家交谈，至少其中一些人会告诉你，他们把严肃的研究问题交给推理模型，得到的回答很有启发。不同领域、不同人的体验差别极大。前沿像分形一样处处起伏，远非均匀推进。

其中一些证明的发布方式也引发了巨大争议，Grant 不想淡化这些问题。但退远一点看，四年前这些东西连加法都做不好。它们掌握竞赛数学的速度超出所有人预期，随后进入与研究相关的领域，速度又超出许多人的预期。

即使说“定理证明已经解决”有夸大成分，即使我们看到的大多数证明只是沿着人类近期工作迈出一小步，即使“解决”这个词本身都没有清晰定义，考虑到这种速度，为了让一年级博士生思考未来，不妨假设机器在生成证明上全面超过人类。接下来会怎样？

结果是，价值层面几乎不受影响，经费层面因此也几乎不变，但数学文化和贡献认定体系会受到巨大冲击。应用几乎总是来自构建理论。真正重要的不是五次方程不可解的证明，而是群论的诞生，它后来甚至让人们推测夸克可能存在。重要的不是 Fermat 问题的答案究竟是“是”还是“否”，而是从中长出的数学。

有时，定理的陈述本身就有用。如果你研究核聚变，想要一个处处非零的磁场，毛球定理会告诉你，在球面拓扑上做不到。但 Grant 总觉得，这类例子有点牵强。总体来说，应用来自理论。因此，公共资助依然合理；如果有变化，数学家反而能更有效地构建理论。私人资助也一样。

锻炼解题能力这件事，基本不受机器是否更强的影响。已经有许多人类比你更擅长证明定理，你自己动手证明仍然有用。就像健身：机器能举起更大的重量，不会抹去你举重的价值。随着 AI 获得越来越多能力，价值链里的这一项始终需要人亲自参与。

如果走到 AI 接管越来越多研究工作的科幻未来，人类还需要解题能力吗？他把这个问题暂且放下。只要它还有价值，就能通过教学连接到经费。让人类专家掌握生成证明的能力，进而训练学生、产生人才流动的收益，仍然有价值。

审美乐趣这一面更复杂，因为他见过两种反应。尤其在网上，常见的感受是机器证明定理让数学失去了乐趣。一个数学家努力追索某个结果，却在 OpenAI 一次公布的数百项结果里看见它，会觉得顿时泄了气。Grant 理解，这种感受值得认真讨论。

但在线下，他也看过另一面：兴奋不已的数学家。有些问题的答案他们一直想知道，如今和模型互动，答案逐渐显现。如果他们在意的是理论，而不只是证明，就会觉得自己突然不再受限。他分享了一段与 Institute for Advanced Study 的 Constantin Kogler 的谈话。

Kogler 一直把所在领域最重要的问题之一，交给他能用到的最新模型尝试。他讲了两次非常重大的成功，包括那个星期日，他称之为领域内重大开放问题的难题得到了解决，还有另一个涉及不可约多项式的问题。他说，这非常美妙，也非常简单：是一个简单而有力的想法，他星期四就已经见到了。

起初，他感到难以置信的兴奋：为数学、为这种力量、为即将知道的真相，也为那些想法。之后他不断想数学，睡得更少，也回味那种兴奋，因为他终于获得了渴望的洞见。Grant 注意到这种分野：网上更多消极情绪，线下更多喜悦。这不是 AI 和数学独有的现象，而是公共讨论的特点。他并不想因此淡化负面感受。

这对那位问“明天该做什么”的博士生确实有所启发。他保证结尾会给出具体答案，第一部分就是：多与人交流。合上电脑，和同学去散个长步。散步时该谈些什么，他说，后面再讲。

他花了很多时间讨论这一项，因为当下的大部分讨论都集中在这里。如果机器更擅长生成证明，数学实践会是什么样？从那个兴奋的乐观者的角度看，就是更加投入构建理论。你不再受限于自己解决沿途问题的速度，可以提出所有想问的问题，更快地看到解答。

然后去理解它们：如何融入更大的脉络，诸多证明中的简单之处在哪里，怎样像 Galois 引入群论、Grothendieck 发展代数几何那样，织出一套新理论。也许你的博士论文不再是几个证明，而是一整套理论。打个比方，就像因为书后有答案，你能更快地学完一本教材。

这不意味着你应该总去翻答案，题目还是得做。但卡住时，更连贯的答案讲解能帮你走出来，让你比在完全未知的土地上前进得更快。你也必须认真负责。许多机器证明用到了人类论文中的思想，却不会自动正确引用；把功劳归给应得的人，这额外一步要由你完成。

Grant 承认，乐趣的损失是真实的。他猜很多数学家听完刚才的描述，会觉得糟透了：坐在那里读机器生成的劣质内容，理解别人已经回答的问题。他们想亲自找到解法。他认为，回应这种感受，是数学共同体当下最重要的问题之一。

他怀疑其中混合了两种不同的事。一是模型的解释质量往往不尽如人意，没人想啃劣质文本。他认为这会改善：目前这种几乎无法理解的证明生成，可能只是暂时的阶段。模型公司有很强的动力，让模型讲清楚。看看代码：早期生成的代码即使能运行，也常常很乱，此后一直在变得整洁，尽管大家仍争论注释是不是太多。

更深一层，是共同体看重什么、功劳归给谁的文化惯性。你在研究一个问题，模型却找到了答案，尤其答案来自公司发布，而不是你自己与模型互动，确实很难受。问题似乎已经解决，剩下的只是收拾残局。数学史上的很长时间里，我们都把证明当作理解的替代指标，把它视作北极星：能证明，就是理解。我们把证明诞生的时刻，当成重大开放问题得到解决的时刻。

当然，这从来都不是全部，大家也都知道。论文写得差，期刊会退回来。即使你证明了一个非常重要的定理，但写得糟糕，编辑虽然知道自己应该重视，依然会退稿。把它解释清楚，是你的责任。

Grant 认为，到了现在，我们应该像对待数值计算一样对待证明：它是一种有助于构建理论的原始数据，本身不是终点。这也不是他一个人的想法，其他人也提出过，要把机器生成的证明更多地视为数据。把构建理论作为目标，把证明作为投入其中的原材料，会让人感到某种解放。

他不在意 Navier–Stokes 问题中一个人为构造的爆破结果。他在意的是，有人是否理解了证明中的想法，以及这些想法能生长出什么数学，最终组成连贯的理论。如果有人做了这份工作，就把千禧年大奖给他。这才是我们一开始关心它的原因。证明只是数据，就像 π 的更多位小数。

这也改变了研究方式。有时你需要再多一个证明，与模型互动就是最佳途径；但更多时候并不是。更好的做法是合上电脑，写写画画，理清自己的理解，追问阻碍更深理论的究竟是什么：还差一个证明，还是对已有证明的理解出了问题？如果机器能生成证明，却讲不清楚，就仍需要人类数学家把它讲明白。这恐怕不是最有趣的工作，他假设这个阶段只是暂时的。不妨进一步假设，机器也更擅长表达自己的想法。

那说的是书面交流。同样有价值的是社会交往这一面，常常体现为口头报告。沿着整个发展过程，口头表达能力只会越来越重要。机器无法替你理解。数学的重要部分，是让别人理解并在意，而我们是社会性动物。即使机器解释得更好，让我们在意的一个关键因素，仍然是看见另一个人真正在意。

下一项：提出问题，判断哪些定理值得证明。当前，这仍然是数学家非常活跃、投入回报很高的工作。但还是为了讨论，不妨设想机器连这一项也更强。你不再只是请模型证明某个定理，它还会带回其他值得问、可能产生丰富数学的问题，而且按照我们采用的任何标准，它提问题都比数学家更出色。

这与构建理论之间的界线很模糊。暂且假设人类在理论这一面仍然更强，能够理解大量定理及其证明方式。这正是与后续应用最相关的工作。从资助角度看，它不但仍然合理，而且每个数学家的能力都得到了放大，因为他们能比以前更快地推动理论向前。

解题能力还是一样，就像在健身房举重。机器更强并不重要，只要人类的解题能力仍有意义，我们就仍希望人接受训练。审美乐趣上的分野也继续存在。有人不会觉得让模型自问自答有什么意思。Grant 自己可能一辈子都愿意在脑中琢磨有趣的问题，再寻找自己的解法，无论模型能做什么。

另一些人则会感到兴奋：构建和理解理论的限制越来越少，甚至寻找应用的节奏，也可能不再是等待几十年或几个世纪，而是更早地主动去找。

但研究生还会问，如果构建理论这一环也失守了呢？假设推动理论数学最有效的方式，不只是让机器生成证明、挑选定理，还包括让它消化这些证明，发现其中的简单之处，理解需要什么样的新材料，才能织成一套连贯的理论。

类似于把 16 世纪之前的全部数学交给模型，它不仅解出三次方程，还发明合适的记号，提出复数，并建立此后一整套理论。也许你觉得这不太可能，认为现有大语言模型依赖人类训练数据，难以产生真正新颖的思考。但为了这个假设，我们还是问：在这样的世界里，数学会是什么样？

如果我们希望数学在现实中得到应用，按照假设，模型虽然更擅长生成理论，仍然需要有人足够深入地理解理论，才能判断它如何用于周边领域。它是否有助于治疗癌症、实现核聚变，或开发高温超导体？这是实际落地的关键。至于个人解题能力，仍是同一个道理：你在健身。只要人类解题能力还有意义，就仍希望人们亲自练习。

说到审美，Grant 意识到，自己一直把两种快乐混在一起。一种是任何水平的人做数学都能感受到的：看见巧妙解法突然打通，或者理解一个新主题，让思维发生改变。这个频道做的就是这些。另一种则是前沿研究者的快乐，是把边界向外推进的感觉。

他觉得，第一类快乐基本不受 AI 是否更擅长清单上的任务影响。它与解题能力类似：要得到这种价值，必须亲自在脑中做数学。模型或许会影响一些人的感受。他也认为，这种快乐天然就更具有共同体属性，至少与他人分享能让它更强。和热爱数学的人在一起，或者看见别人的热爱，更容易让人充满热情。独自研究也可以，但社交始终会放大这种感受。

对他自己来说，无论机器有什么本领，他都永远想接触更多数学，在自己脑中弄懂，再分享给你。至于研究者的乐趣，前面所说的分野会更加明显：有些人会因机器打开数学的新窗口而兴奋，有些人会因此极其沮丧，这两类人很可能始终都会存在。

坦白说，确实有东西失去了。很长时间里，推进人类理解与后续应用紧密相连。在这些假设里，两者越来越分离。对有些人而言，这会让单纯为了理解而推进理解，少了一点力量。你可能不希望教材后面附着答案，即使不必去看，因为它削弱了开拓的精神。

Grant 交流过的许多数学家，并没有那么在意抢第一，他们的快乐大多来自共同体。因此，数学内部会出现更多支流，主张为了人类理解本身而推进数学。回到图上总结：只要学习数学始终有乐趣，而且人们愿意付费学习，它就能通过教学继续存在。但如果某种快乐来自成为开拓者的希望，来自率先踏入一套新理论，那就得承认，这一部分会有所损失。

把假设推到底。假设机器不只更擅长证明、猜想和理论，也比人类更善于看出这些理论能用在哪里，并把它们接入科学与工程。就叫它“你能做的，我都能做得更好”的未来吧。这时情况变得更有意思，因为在价值链上，第一次出现了所有应用收益理论上都能单靠机器实现的可能。

如果公共和私人资助的动机是后续应用，那么最有效的用法，就是把资金投向一大团只做数学的算力：建立理论、寻找应用、推动进步。Grant 猜测，虽然这符合应用导向资金的理性逻辑，但他很难想象决策者会突然按下开关，让公共资金不再流向人类，而是流向一团算力。

他能想象的是，一些因为 AI 本身而变得极其富有的人，成立私人基金会，把资金投向这团算力。这似乎很有可能。而在公共资助这一边，更可能发生的是，人们越来越多地强调其他正外部性。一套制度能训练解题人才，再把他们输送到更广阔的世界，本身就极有价值，足以让公共投入获得正回报。

也可能出现正式机构，为人类的福祉而支持人类做数学：实际上就是接受数学是一种艺术，而它本来一直如此。人们会像看待艺术资助那样看待数学，既有公共资金，也有私人慈善。但仍要保持尺度感，这些甚至都不是数学最大头的经费来源。

最大的一块是教学，而教学的价值最终来自价值链下方的两项：训练人的解题能力，以及在过程中赋予人一种非常特别的快乐。“你能做的我都更强”的未来实在太离奇，很难严肃地代入。顺便说，整段讨论都建立在事情发展顺利、没有发生灾难的分支上。所以，有些人也许会认为，当下从事 AI 安全更重要。

既然在讨论这个假设，并且假定未来走向良好，他觉得，类似现有大学的结构很可能仍会存在。即使理论上 AI 更擅长解释，人们也仍想向人类学习，因为教育的瓶颈不是讲解的清晰程度，而是动机。人们真的想学这些内容吗？是什么驱动他们？

有时驱动力就是学习本身的快乐。但我们也是社会性动物，很多动力来自看见另一个人深深热爱一件事，尤其那个人还是自己尊敬或在意的人。Grant 觉得，教学总体上是最不容易遭 AI 替代的职业之一，因为它极其依赖关系，依赖人与人互动。屏幕上生成的讲解，无论多么清楚，都无法替代这一点。

那么，这对我们意味着什么？在可预见的未来，研究需要越来越重视构建理论这一面。数学一直如此，这始终才是目的。主要区别是，证明曾经是一个很有价值的替代指标，而如今正在失去这种指标作用。它已经是一种有用的原始数据；是的，我们必须改变衡量人类学术贡献的方式。

这或许是好事。证明本身可能已经在几十年里受到过高评价。类似地，如果数学这套制度的价值在于磨炼解题能力，我们也必须重新追问究竟该如何训练，因为以前的方法不再适用。如今，仅仅布置和批改习题集，已经不太说得通。

即使你担心一个数学完全机械化的科幻未来，或者认为解题训练可能不再有用，虽然有点牵强，但不妨认真讨论：只要做数学还有乐趣，它对人类就始终有价值。Grant 相信，即使未来变化再离奇，这最后一点仍能成为支柱，原因之一就是这个频道。

想想这里正在发生什么：有数百万人愿意参与，而我们所做的，就是沉浸于数学之美，寻找优雅的问题和令人满足的解答，尝试传递新的思维方式。诚然，不是数百万人都愿意为此付费，若是那样当然很好；但确实有数千人愿意，而这就足以带来决定性的区别。

把视线移到这个频道之外，他最喜欢的公众需求例子之一，是 Brady Haran 的诸多频道：其中遥遥领先、最受欢迎的，是数学频道。再往回看，现代数学科普的教父 Martin Gardner，他的专栏原本在 Scientific American 最后面，后来不得不移到前面，因为太多人专门为了它订阅。

一旦尝到真正数学的滋味，整个社会就会产生巨大的需求。数学共同体应该把目光转向外界，积极满足这种渴望，这才是明智之举。这期视频大部分时间，Grant 都在解释这套制度为什么有价值、为什么会继续存在。但他开头提出的说法更强。

他说，现在是进入数学领域的最好时机之一。他猜，很多观众以为他的意思是 AI 会开启新机会，但他指的并不是这一点。真正的原因是，整个共同体都知道自己需要改变，许多人正在停下来观望，寻找方向，寻找能说明改变该是什么样的例子。

作为新人，你有机会在这个领域历史上最关键的时刻之一，真正影响它未来的样子。他认为这令人无比兴奋。所以，回应那位博士生“告诉我明天该干什么”的留言，他可以说说：如果自己是 2026 年的博士生，会怎么做。

他会做 3Blue1Brown，就做现在这件事。如果十年前，他带着用高度视觉化的方式讲数学的构想走进数学系，要求把它当成学术上正式认可的博士论文，而不是业余爱好，几乎每个系都会把他笑出门。他不确定年轻时的自己放到今天能否成功。但如果人们曾在某个时候愿意开放地看待这件事，那就是现在。

他不是说你也应该这样做。你应该投入让自己热爱数学的那部分。他喜欢讲解，喜欢把数学可视化，那就是他的热情，他愿意沿着它走下去。但你的热情是什么？如果你热爱构建理论，想成为下一个 Galois 或 Grothendieck，那就去做。你拥有一台未来四年还会不断进步的证明机器，也许能借助它写出前所未见的论文，开拓一个在旧世界里无法进入的领域。

如果你不喜欢模型，觉得它让人不舒服，也很好，那就顺着这份感受去做。一定会有人尝试确立由人类为人类而做的数学。你可以插下自己的旗帜，决定体现这个目标的博士论文究竟应当是什么样。他还会认识到，如果机器在研究工作中的某些部分更强，那么衡量一个人的理解力，以及他帮助推动领域的潜力，最有效的方式将越来越偏向口头报告。

所以去演讲，多做演讲。把演讲练得非常、非常好，让它成为日常数学训练的一部分。至于明天究竟做什么，他最具体的建议就是去散个长步。找一位朋友，也许是同项目的同学，一起反思：你喜欢数学的什么？为什么当初选择它？也问问对方热爱什么，为什么入行。

一起开动脑筋，想想未来几年，你希望如何为这几层价值分别作出贡献。对 Grant 自己来说，他依然热爱数学，也会永远热爱数学。他会一直喜欢寻找可视化的方法，通过这个频道分享给你。他最大的希望，是你也能找到投入自身热情的方式。这个共同体从未如此开放，他们会倾听你想说的话。