复对数如何把埃舍尔的缩放变成循环

3Blue1Brown 讲解者从 M. C. Escher 1956 年的版画《画廊》谈起：画廊里的人看着一幅港口画，画中又有小镇、小镇里的画廊，以及同一个观画者。

埃舍尔的作品常以图案和悖论吸引数学家。讲解沿用 Bart de Smit 和 Hendrik Lenstra 在 2003 年的一项分析，展示如何把不断缩放的图像变成循环，以及空白中心可以填入什么。

首先想象一幅拉直的自相似图像：一个人看着画，画中有小镇、画廊和同一个人，如此不断向内嵌套。这种画中画模式称为德罗斯特效应。

在埃舍尔的例子中，重复的图像缩小了 256 倍。他将嵌套缩放变成扭曲的循环，让观众绕着中心移动视线时跨越不同尺度。

讲解者使用一个更简单的例子：自相似副本缩小 16 倍。要把这个比例分布在四个角之间，相邻两个角各变化两倍，即 2 × 2 × 2 × 2 = 16。

可以从原图中取出四个逐渐放大的区域，把它们放到正方形的四角。难点是让它们平滑连接，使目光绕一圈后回到相匹配的副本，而不是遇到突兀的接缝。

埃舍尔绘制了一张扭曲网格。在 256 倍的例子中，从一个角到下一个角的尺度变化为四倍；沿着网格线看，对应的小方格也按这一比例变大。

使用网格的方法是：先在拉直的原图上覆盖普通方格，再把每个小格里的内容复制到扭曲网格的对应位置。这种网格变形把尺度变化分配到整幅图中。

自相似性让图像能够闭合：在简化例子里，绕一圈后，复制的区域接上缩小 16 倍的版本。墙上的画或一排房屋等重复元素，也帮助观众看出循环。

如果直接沿不同方向做线性缩放，网格会受到相互冲突的拉伸。埃舍尔把网格线弯曲，同时保留了一个重要局部性质：足够小的网格近似为正方形，边线以直角相交。

因此，整体场景可以显著扭曲，局部形状却仍然容易辨认。数学中，在正则点保留局部角度和形状的变换称为保角映射。

讲解者把复数介绍为平面上的点。乘以 2 会放大平面；乘以 i 会旋转 90 度。乘以任意非零复常数则相当于旋转与缩放的组合。

更复杂的函数会在整体上扭曲网格。例如在 z² 下，远离零这个临界点的微小方格会近似变成经过旋转和缩放的正方形。输入区域越小，这个近似越好。

任意二维变换通常没有这种局部保形性质，它可能把小正方形压成平行四边形。复可导性则提供了特殊的结构。

对实函数来说，可导意味着图像在局部看起来越来越像直线；若把函数视为变换，附近的点就近似按一个常数缩放。导数描述这种局部缩放。

对复可导函数来说，一个极小邻域近似通过乘以复导数来变换。在导数非零的地方，局部作用是旋转和缩放，因此角度得以保留。

问题于是变成：能否构造一个复函数，把自相似图像的缩放变成闭合循环？讲解者从复指数和复对数开始建立答案。

对于 e^z，实部每增加一个单位，输出到零点的距离乘以 e；虚部增加时，输出沿圆周移动；虚部改变 2π 则绕完一圈。

因此，高度为 2π 的竖直线段会映射成圆，水平方向相隔一个单位的线则映射成半径相差 e 倍的圆。讲解者把它想象成将输入平面卷成管，再压成同心圆。

指数函数是多对一的：0、2πi 和其他相差 2πi 整数倍的输入具有相同输出。这种周期性对把图像连接成循环至关重要。

复对数反过来把圆展开成竖直线。将它应用于图像时，可以让输出位置的颜色对应原图中的相应位置。

更小的同心圆展开成更靠左的线。由于 e^z 每隔 2πi 重复一次，展开后的图像也可以沿竖直方向重复；相差 2πi 的点对应原图中的同一位置。

对数自然具有多个值。如果需要单值函数，可以选择一个辐角范围形成分支；这里讲解者保留重复副本，以便观察循环。

第二个周期方向来自德罗斯特图像本身，而不是对数单独产生的。图像尺度乘以 16，在对数空间中对应水平平移 ln 16。

宽为 ln 16、高为 2π 的矩形包含一个重复单元。水平平移代表嵌套缩放，竖直平移代表完整旋转，因此对数图像具有双周期性。

构造分三步：取对数，旋转并缩放得到的平铺平面，再取指数。中间步骤的目的是让连接重复副本的路径变成一条长度为 2π 的竖直线段。

讲解者连接大人物与其较小的副本。在对数空间中，副本沿水平和竖直方向重复，因此他选择连接对应副本的一条对角线路径；其中向下的分量对应原图中的旋转。

他旋转并缩放对数平面，使对角线变成长度为 2π 的竖直线段。复数乘法提供旋转和缩放，并通过偏移保持一个选定点的位置不变。

改变复数乘数会产生不同的扭曲图案。选择合适的值后，指数变换会把选定路径闭合成圆，从而重建类似埃舍尔作品的循环。

看似空白的中心可以用不断向内重复的螺旋填充。这个构造覆盖除零这个极限点之外的平面；图像可以向该点无限缩放。

对埃舍尔的原图，同样的方法使用 256 倍自相似比例。对数空间中的重复单元更宽，旋转和缩放的选择使原来的对角线重复方向变成周期为 2π 的竖直方向。

对变换后的平面取指数，最终图像绕一圈就对应原图缩放 256 倍。得到的中心不再是空白圆盘，而是不断向内旋转的自相似图像。

取对数、乘复常数和取指数的组合，可以简洁地写成一个复数幂，偏移则引入另一个常数。简短公式很漂亮，但也可能遮住使构造容易理解的几何步骤。

如果只使用水平重复方向，结果会不同：缩放与旋转的角色大致互换。选择对角线才能得到所需的缩放和扭转组合。

艺术家的扭曲网格与对数构造可以联系起来：把相同的变换应用到随尺度重复的网格，而不是图片，就能得到类似埃舍尔的网格，并继承局部保角性质。

讲解者强调，欣赏埃舍尔无需懂复分析。数学提供了另一种欣赏方式：一个美学约束与在有限空间表现无限的想法，共同产生了视觉谜题。

双周期图案还引向椭圆函数，而椭圆函数在数论中具有重要作用。De Smit 和 Lenstra 都是数论学家；讲解者认为，这样的背景或许有助于解释他们为何看到了这种联系。

最后，他将欣赏埃舍尔与数学发现的乐趣相比：两者带来的不仅是谜题解开的满足，还有对提出谜题所需创造力的欣赏。