任意维度的球体体积

3Blue1Brown 的旁白介绍一个他认为不够受到重视的公式：任意维度球体的体积。他希望听众既理解它的意义，也理解它是如何推导出来的。

第一个谜题是：在 −1 到 1 之间独立均匀选取随机数 x 和 y，x² + y² 不超过 1 的概率是多少？

数对 (x, y) 是一个边长为 2 的正方形中均匀选取的点。不等式描述单位圆盘，因此概率等于圆盘面积除以正方形面积，即 π/4。

有三个独立坐标时，同样的论证使用边长为 2 的立方体内的单位球体。球体积为 4π/3，所以概率是 (4π/3)/8，即 π/6。

这个问题也可以有四个或一百个坐标。答案变成相应维度的单位球体积，除以 n 维立方体的体积 2ⁿ。

一个高维点可以简单地表示一长串数字。旁白指出，机器学习中的表示提供了一个熟悉的场景：使用几何语言可以帮助我们理解这些数字列表。

第二个谜题提醒我们不要过度依赖低维图像。在顶点为 (±1, ±1) 的正方形四个角各放一个单位圆，再逐渐放大中心圆，直到它与这些圆相切。

原点到每个顶点的距离为 √2，因此中心圆的半径是 √2 − 1。三维中对应距离为 √3，中心球的半径就是 √3 − 1。

反复应用普通勾股定理，可以得到原点到 n 维顶点的距离为 √n。每个顶点放一个单位球时，中心相切球的半径因此是 √n − 1。

四维时这个半径为 1。十维时它约为 2.16，因此中心球会伸出包含各顶点球的边长为 4 的外包立方体的面。

旁白反对把高维球面描述为“尖刺状”：球面仍由距离中心相等的点组成。令人惊讶的几何现象来自高维立方体中心与众多顶点之间的距离。

立方体的面距离中心仍是固定值，而顶点距离随 √n 增长。一张变形的低维草图可以帮助想象这种效果，但不能忠实描绘全部 2ⁿ 个顶点。

为了推导体积公式，旁白列出不同维度球体体积及其边界测度的表。熟悉的条目包括圆面积 πr²、圆周长 2πr、球表面积 4πr² 和球体积 4πr³/3。

边界测度是球体体积对半径的导数。半径增加一点 dr 会增加一个薄壳，其体积近似等于边界测度乘以 dr；在求导极限中，这个近似变成精确关系。

反过来，可以对半径上的边界测度积分。例如，积分一个与 r² 成正比的量，会得到除以 3 的 r³ 项。

半径为 r 的一维球体是从 −r 到 r 的线段，长度为 2r。它的边界是两个点；将这两个点计数，边界测度为 2，与导数一致。

对于三维球面，Archimedes 将表面上的小块投影到外接圆柱。一个方向被拉伸，另一个方向被压缩，局部面积变化因子相互抵消。

图示中，绕轴方向的拉伸因子为 R/d，其中 R 是球半径，d 是到轴的距离。垂直方向的压缩因子为 d/R，因此两者的乘积是 1。

圆柱可以展开为宽 2πr、高 2r 的矩形。它的面积是 4πr²，因此球面面积也是这个值。

旁白把它重新表述为体积表中的一步：球面边界的测度等于一维球体的长度乘以二维球体的圆周长。他把表中的这种移动称为“骑士步”。

对于三维球面上的点，先选择 [−r, r] 内的 z，剩余的 x 和 y 落在一个圆上。这个圆的半径随 z 变化，因此不能不加论证就乘以固定周长；正是投影使面积计算成立。

在四维中，先选择圆盘内的两个坐标。剩余两个坐标落在一个半径取决于前面选择的圆上，但推广后的投影仍使边界测度中的拉伸和压缩平衡。

由此得到四维球体的边界测度 2π²r³。对 r 积分，得到体积 π²r⁴/2。这里的乘积描述的是投影后的测度关系，而不是说形状本身完全相同。

数值模拟可以经验性地检验结果：从 [−1, 1] 均匀采样四个坐标，统计平方和不超过 1 的次数。比例会接近四维球体体积除以 2⁴，但模拟并不是证明。

同样的构造可以推广到更高维度：拿出两个坐标组成一个圆，其余坐标组成低维球体。恰好取两个坐标，才得到相互抵消的拉伸与压缩。

每一步先为边界乘以 2πr，再积分。若 cₙ 表示单位 n 维球体体积，就得到递推关系 cₙ = (2π/n)cₙ₋₂。

递推关系可以把八维体积依次化为六维、四维、二维，最后是零维。把零维单位球体的体积定义为 1，就得到偶数维的基例。

沿偶数维递推，分子得到 π 的幂，分母得到阶乘。加入半径后，当 n 为偶数时，Vₙ(r) = π^(n/2)rⁿ/(n/2)!。

同一个递推关系也适用于奇数维，但记号会要求计算半整数阶乘。一维情况要求 (1/2)! = √π/2；其他半整数值可继续递推得到。

Gamma 函数提供了阶乘的标准推广：x! = Γ(x + 1)。因此，对整数 n ≥ 0，统一公式是 Vₙ(r) = π^(n/2)rⁿ/Γ(n/2 + 1)。

旁白提到还可以从高斯积分和 Gamma 函数出发，走另一条推导路径。这条独立路径得到的半整数阶乘值，与体积递推关系提示的结果一致。

半径取 1 时，体积数值从零维的 1 开始，接下来分别是 2、π 和 4π/3。数值一直增加到五维，之后在更高的正整数维度中下降。

递推关系解释了转折：每增加两个维度，就乘以 2π/n。一旦 n 超过 2π，这个乘数小于 1，此后各奇偶序列的后续步骤都会缩小。

在 100 维中，单位球体积为 π⁵⁰/50!，按所选单位约为 2.37 × 10⁻⁴⁰。开头谜题的概率更小，因为还要将这个体积除以 2¹⁰⁰。

另一个现象涉及体积分布的位置。对于单位圆盘，距离边界不超过半径 1% 的部分占面积的 1 − 0.99²，约为 2%。

在 n 维中，将半径缩小到 0.99 后保留的体积比例为 0.99ⁿ。当 n = 10,000 时，这个比例约为 2.25 × 10⁻⁴⁴，因此几乎全部体积都位于最外侧 1% 的薄壳中。

旁白还指出，高维球面的测度会集中在赤道附近：随着维数增加，稍微偏离赤道的截面也会迅速缩小。

直接比较长度、面积和更高维体积会混淆单位。一种无量纲的解释是，在每个维度中都把单位球体与同维度边长为 1 的立方体比较；在这个约定下，公式就是二者的体积比。

在顶点球构造中，有 2ⁿ 个单位球，而较大立方体的体积为 2ⁿ。因此这些球的总体积与立方体积之比，恰好等于单位 n 维球体体积，为理解高维时的微小数值提供了另一种方式。

讲座最后把熟悉的公式和阶乘联系到一个更一般的规律中。跨维度观察问题，更容易看见它们共有的结构。

在最后的补充中，旁白解释开场动画：它将四维球面的纬度球面投影到三维空间，随着高维视角旋转，投影出来的形状也会变化。