Borwein 积分的规律为何会被打破

一列积分看起来每次都等于 π，随后却突然略小于 π。差距小到一位研究者据说怀疑计算机代数系统出了错。这是真实现象，其解释将移动平均、傅里叶变换与卷积联系起来。

从 sinc(x) = sin(x)/x 开始，并在零点把它连续地定义为 1。它在整个实数轴上的积分是 π；轴下方的面积按负值计算。如果使用初等积分方法，这个结果本身就有些出人意料。

接着乘上 sinc(x/3)、sinc(x/5)，再继续使用后续奇数作为分母。每个因子都会改变图像，但积分直到分母为 13 的因子仍恰好等于 π。加入分母为 15 的因子后，结果略微变小。

这个极小差值不是浮点误差：精确答案是一个略小于 π 的有理数倍。Borwein 父子还研究了加入因子 2 cos(x) 的版本，其相应规律持续得更久，到 113 才被打破。

视频说明对 4:12 的画面作了更正：最上面一行不应列出，因为该积分发散。持续更久的规律关注的是后续有效表达式。

为了观察相关现象，定义 rect(x)：在 −1/2 到 1/2 之间为 1，外部为 0。用宽度为 1/3 的窗口对第一个函数取移动平均，得到第二个函数。窗口完全位于原平台内部时，平均值仍为 1。

新平台的长度比原来少一个窗口宽度，因此是 1 − 1/3；它在零点的值仍然是 1。再用宽度为 1/5 的窗口取平均，平台再次缩短，长度变成 1 − 1/3 − 1/5。

继续使用 1/7、1/9 等宽度。平台越来越窄，但边缘附近的曲线仍非常接近 1，因为它是通过对邻近值反复取平均得到的。

到 1/15 这一步时，前一个平台已经比平均窗口窄。即使在零点，窗口也会包含略小于 1 的值，所以平均值降到 1 以下。原因是 1/3 + 1/5 + … + 1/15 首次超过 1。

这种相似性是精确的：移动平均函数在零点的值，就是对应积分中乘以 π 的系数。对于 2 cos(x) 的变体，类比从宽度为 2 的平台开始；倒数之和到 1/113 时首次超过 2。

奇数倒数并不是关键。讲解者解释了更一般的原则：对于正的缩放值，只要窗口总宽度小于 1，平台就保持完整；一旦超过 1，中心值就会下降。

为什么积分与移动平均其实是同一个计算？解释要用到傅里叶变换和卷积。本视频只给出高层次概览，把卷积的详细解释留给后续视频。

首先把 x 换成 πx，sinc 积分因而从 π 缩放到 1。在这里使用的傅里叶变换约定下，归一化 sinc 函数对应矩形函数；拉伸的 sinc 对应经过缩放的矩形。

傅里叶变换可以理解为一种视角转换：用频率分量表达函数。在原表示中困难的问题，在变换后的表示中可能更容易处理。

一个有用的事实是：按照视频采用的约定，函数在整个实数轴上的积分等于其傅里叶变换在零点的值。因此归一化 sinc 的积分对应于在零点计算 rect，结果为 1。

卷积定理提供了另一条联系：对乘积进行变换，对应于把各自的变换做卷积。在这个例子里，与相应矩形函数卷积就是移动平均操作。因此在零点取值，就把乘积积分与不断缩小的平台连接起来。

讲解者承认这些变换事实还需要更充分的证明，并表示将在下一期深入探讨。他补充说，卷积定理的应用不限于这道谜题，还包括高效计算大整数乘积的算法。