泰勒级数：把导数变成近似

我刚学泰勒级数时，并没有意识到它在数学、物理和工程中出现得如此频繁。它的力量在于用多项式近似复杂函数，而多项式往往更容易计算、求导和积分。

单摆提供了一个例子：摆锤距最低点的高度与 1 − cos θ 成正比。当以弧度计的角度很小时，用 1 − θ²/2 代替 cos θ，可以简化表达式，也让它与其他振荡现象的联系更清楚。

cos x 与 1 − x²/2 的图像在零点附近非常接近。我们如何构造而不是猜出这个二次式？从 P(x) = c₀ + c₁x + c₂x² 开始，选择三个系数，使它在零点匹配余弦函数的信息。

首先匹配函数值。由于 cos 0 = 1 且 P(0) = c₀，令 c₀ = 1。改变其他系数不会改变零点处的值，因此它们仍可用于控制形状。

接着匹配切线斜率。余弦的导数为 −sin x，在 x = 0 时为零。P 的导数为 c₁ + 2c₂x，因此它在零点的斜率是 c₁。令 c₁ = 0，两条曲线在该点都有水平切线。

最后匹配斜率的变化方式。余弦的二阶导数为 −cos x，在零点等于 −1。P 的二阶导数为 2c₂，因此 c₂ = −1/2，得到 P(x) = 1 − x²/2。

当 x = 0.1 弧度时，多项式给出 0.995，非常接近 cos(0.1)。每个系数都有一项工作：匹配函数值、一阶导数和二阶导数。这是局部近似，并不保证远离零点时同样准确。

我们可以增加更高次幂，匹配更多导数。余弦的三阶导数为 sin x，在零点等于零，因此三次项系数为零：这里的二次泰勒多项式同时也是三次泰勒多项式。

余弦的四阶导数又是余弦，在零点等于 1。对 c₄x⁴ 求四次导数得到 4!c₄ = 24c₄，因此 c₄ = 1/24。改进后的多项式是 1 − x²/2 + x⁴/24。

这解释了阶乘的来源。反复对 xⁿ 求导，会依次乘上 n、n − 1 等数，得到 n!。要让中心点的 n 阶导数等于目标值，选择系数时就要把该导数值除以 n!。

高阶项不会破坏已经在零点匹配的导数：对 xⁿ 求少于 n 次导数之后，仍然有一个 x 因子，代入中心点就为零。因此每个新系数可以匹配另一个导数，而不用推翻先前的匹配。

如果近似中心换成输入 a，就使用 x − a 的各次幂。在 x = a 时，这些幂为零，正如以零为中心时 x 的各次幂为零一样。相同方法便能在 a 处匹配函数及其各阶导数。

余弦的导数依次循环为 cos x、−sin x、−cos x 和 sin x；在零点的值则循环为 1、0、−1、0。把这些值分别除以对应阶乘，就得到逐阶泰勒多项式的系数。

一般来说，函数 f 在 a 处的 n 阶泰勒多项式，是从 k = 0 到 n 的 f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k! 之和。各项依次匹配 a 处的函数值和各阶导数。增加项数可以改善局部近似，但多项式也会更复杂。

对以零为中心的 eˣ，每一阶导数都是 eˣ，而零点的各阶导数都等于 1。因此它的泰勒多项式从 1 + x + x²/2! + x³/3! + … 开始，在所需次数处停止。

二阶项还有一种几何解释。设想一个函数测量曲线下方到可变右端点为止的面积。根据微积分基本定理，曲线的高度就是这个面积函数的导数。

把端点从 a 移到 x，大约增加一个宽为 x − a 的矩形。要改善估计，还需算上高度变化形成的小三角形。它的底为 x − a，高约为 f″(a)(x − a)，其中 f 是面积函数。

三角形面积约为 ½f″(a)(x − a)²。将原有面积、矩形和三角形相加，就得到二阶泰勒近似。这三项都有可见的几何含义，而不只是公式里的符号。

泰勒多项式在有限项后停止。泰勒级数考察项数无限增加时部分和的极限；如果部分和趋近某个确定的值，就说级数收敛到该值。

对以零为中心的 eˣ 级数，增加项数会对每个实数 x 收敛到 eˣ。例如，在 x = 1 时，部分和趋近 e。对这个特定函数，一个点的局部导数信息可以确定整个实数域上的函数值。

并非所有泰勒级数都如此。以 1 为中心的 ln x 级数在 0 < x < 2 时收敛到 ln x，在 x = 2 时也收敛；在 x = 0 和 x > 2 时发散。端点 x = 2 是条件收敛，这一细节超出了视频对区间的简化说明。

收敛半径描述幂级数在中心点多大距离内收敛；边界点需要单独检验。进一步学习可以给出近似误差界并检验收敛性，但核心直觉仍是把一点处的导数信息转化为附近的近似。