欧拉公式、振子与通往拉普拉斯变换的道路

系列第一章通过建立对复指数函数的直觉，为拉普拉斯变换做准备。这个目标本身也很有价值：理解为什么欧拉公式和一种看似奇怪的代入方法，有助于解决物理中常见的微分方程。

函数 e^t 等于自己的导数。除了把导数看作图像的斜率，也可以想象数轴上一个位置为 e^t 的点：它的速度始终等于位置，起点是 1，因此它向右越走越快。

对于 e^(2t)，速度是位置的两倍，增长更快。对于 e^(−0.5t)，速度方向相反，大小是位置的一半。点越来越慢地接近零，这就是指数衰减。

现在考虑 e^(it)，它的导数是函数本身乘以 i。复数向量乘以 i 会旋转 90 度：a + bi 的乘积为 −b + ai。因此，速度始终与位置垂直。

点从 1 出发，速度大小等于位置大小，于是以每单位时间一弧度的速度沿单位圆逆时针运动。经过 π 个时间单位后，它到达 −1，于是 e^(iπ) = −1。这幅动态图解释了著名的恒等式。

对于复数输入，最好不要把指数函数理解为重复乘法。一种定义方式是使用收敛的泰勒级数。相比逐项检查无穷和，通过导数和初始值来理解运动，更容易看出圆周轨迹。

复平面上的每个点 s 都可以代表一个完整函数 e^(st)。如果 s = 2i，旋转速度就是 e^(it) 的两倍；更一般地，虚部给出角频率和方向。

当 s 同时具有实部和虚部时，运动将增长或衰减与旋转结合起来。例如 s = −0.5 + i 时，点沿螺旋线向内运动，大小逐渐缩小。工程师将可能指数所在的平面称为 s 平面。

这种导数关系本身就是微分方程。现在反过来看：物理中的微分方程能否说明为什么要使用复指数函数？弹簧上的物体就是一个核心例子。

令 x(t) 表示偏离平衡位置的位移。一阶导数是速度，二阶导数是加速度。指向平衡位置的恢复力近似与位移成正比，而阻尼力可以建模为与速度成正比。

设质量为 m、阻尼系数为 μ、弹簧常数为 k，齐次方程为 mx″ + μx′ + kx = 0。初始位置和速度从一族解中选出一个解。简单的正比阻尼项是对实际阻力的近似。

尝试令 x(t) = e^(st)。每求一次导都相当于乘以 s，因此代入得到 e^(st)(ms² + μs + k) = 0。指数函数永不为零，所以问题归结为特征方程 ms² + μs + k = 0。

没有阻尼时，μ = 0，根为 s = ±i√(k/m)。令 ω = √(k/m)，两个复指数解沿相反方向旋转；弹簧越强，角频率越高。

物体的实际位置必须是实数。可以取实部，也可以把 e^(iωt) 与 e^(−iωt) 相加，得到 2cos(ωt)。由于齐次方程是线性的，解的加权和仍是解。

可以选择系数来满足初始位置和速度。用实数表示，同一族解可写为 A cos(ωt) + B sin(ωt)。例如，两个指数项的系数都取 1，就得到初始位置为 2、初始速度为 0 的解。

既然正弦和余弦已经能解决这个简单例子，为什么还用复指数？方程发生变化时，它们尤其方便。重新引入正阻尼后，根会离开虚轴，进入 s 平面的左半部分。

在欠阻尼情况下，根具有负实部和非零虚部，因此运动既衰减又振荡。阻尼足够强时，根变成负实数，产生不振荡的衰减；两者之间的重根边界需要特殊形式的解。

同样的代入方法适用于包含更高阶导数的常系数齐次线性方程：微分方程变成关于 s 的多项式。互异根产生可以组合的指数解；重根则需要额外因子，例如 t 的幂。

许多物理问题还加入外力。在光穿过材料的一种模型中，电荷像受周期性光波驱动的阻尼振子，而光波频率不一定与振子的自然频率相同。

受迫方程仍然是线性的，但它是非齐次方程。通解由外力对应的特解与齐次解组成，因此受迫响应的系数受到约束。在图示的非退化情况下，结果可以表示为四个指数项。

这引出一个系统性问题：给定微分方程，怎样找出指数成分及其系数？拉普拉斯变换提供了一种方法，也将这个故事与傅里叶分析联系起来，包括指数函数的连续组合。

在后续章节中，变换会将时间函数转为一种语言，使微分变为代数运算，同时纳入初始条件项。这推广了这里使用的指数代入法背后的直觉。