高阶导数：弯曲、加速度与加加速度

在这节简短的微积分课程中，我介绍高阶导数，为泰勒级数作准备，并重点解释二阶导数在图像和运动中的含义。

函数的一阶导数给出图像的斜率。二阶导数是斜率的导数：它衡量输入变化时一阶导数如何变化。

图像向上弯曲时，斜率增加，二阶导数为正；向下弯曲时，斜率减小，二阶导数为负。其大小表示斜率变化的快慢。

记号 d²f/dx² 是对 f 关于 x 求两次导数的简写，不应理解为普通变量 d 的乘法。

为了建立直觉，取两个大小为 dx 的相等小步，并比较函数在两步中的变化。对于足够光滑的函数，这两个变化之差通常与 dx² 成比例。

将这个差除以 dx²，并在 dx 趋近于零时取极限，就得到二阶导数，前提是相关极限存在。

对于时间的位移函数，一阶导数是速度，二阶导数是加速度。加速度的正负表示方向；物体是否加速变快还取决于速度的符号。

位移的三阶导数称为 jerk（加加速度），描述加速度如何变化。高阶导数还提供用泰勒级数近似函数所需的信息。