卷积：如何将概率分布相加

Grant Sanderson 提问：两个独立正态分布随机变量相加后服从什么分布？本课建立回答所需的卷积工具，并把正态情形的可视化证明留到下一集。

更一般地，卷积将两个分布组合，描述独立随机变量之和的分布。Sanderson 建立两种可视化方式：联合分布的对角切片，以及翻转后滑动的乘积。

先看两枚加权骰子。它们的结果构成六乘六网格；若两次投掷独立，每个结果对的概率等于两个单独概率的乘积。

和相同的所有结果对位于网格的一条对角线上。把该对角线上的概率相加，就得到对应和的概率。

第二种可视化把一个分布翻转，再从另一个分布上滑过。在每个位置，把对齐的概率相乘并求和；对齐的数值恰好是产生某个指定和的点对。

对于离散变量，P(X + Y = s) = Σₓ P(X = x)P(Y = s − x)。不可能的结果贡献零；相乘这一步依赖独立性。

对于连续变量，密度不是单点概率。某个区间的概率等于密度曲线在该区间下方的面积。

密度 f 与 g 的卷积是 (f * g)(s) = ∫ f(x)g(s − x) dx，积分范围为实数轴。它组合所有和被限制为 s 的可能点对。

为了可视化这个公式，将 g 水平翻转并按 s 平移，与 f 逐点相乘，再对乘积积分。改变 s 会改变重叠部分，从而描绘输出密度。

如果 X 和 Y 都在 [−1/2, 1/2] 上均匀分布，它们的密度呈矩形。一个矩形滑动时，重叠长度先线性增加再减少，因此和在 [−1, 1] 上呈三角形密度。

要再加一个独立均匀变量，可以把三角形结果与另一个矩形卷积。这相当于移动平均，产生更平滑的曲线。重复操作可以描述更多变量的和。

根据中心极限定理，对具有有限非零方差的独立同分布变量之和适当中心化和缩放后，其分布趋近正态分布。若不缩放，分布会扩散，而不会保持固定的钟形。

第二种连续可视化把 f(x)g(y) 画在 xy 平面上方。由于独立性，这个乘积是联合密度。平面 x + y = s 沿所有和为 s 的点对切开曲面。

切片对应翻转滑动图中的同一个逐点乘积。其几何面积与卷积值相差 √2 倍，因为沿对角线的距离是 x 变化量的 √2 倍。

对角线图也让交换律更直观：交换 f 与 g 相当于交换坐标轴，但 X + Y 的分布不变。

开头的正态分布问题可以通过对卷积积分求解。Sanderson 则提议使用对角切片的几何方法，并邀请观众先思考标准差相等的情形，再进入下一课。