虚数利率、复数与弹簧振动

银行提供利率 i，也就是 −1 的平方根，究竟意味着什么？Grant Sanderson 用这个刻意古怪的问题，把复利、复数和简谐运动联系起来。

先看普通利息。银行 A 每年让 100 美元增长 12%；银行 B 每月增长 1%。虽然十二个月的利率加起来是 12%，复利会让最终结果不同。

按年复利，一年后余额为 112 美元。增长可以写成乘以 1.12；第二年，第一年获得的利息也开始生息。

如果每半年增长 6%，一年后的余额是 100 × 1.06²。每一步都把当前余额乘以相同系数，因此重复的百分比增长自然写成幂。

按月复利得到 100 × 1.01¹²，约为 112.68 美元，比按年复利多约 68 美分。时间越长，差异越明显。

设初始金额为 M₀、年利率为 r、总时间为 t、分段次数为 n。每一步的长度 Δt = t/n，金额变化为当前余额的 rΔt 倍。

提取公因式得到 M → M(1 + rΔt)，重复 n 次便得到 M₀(1 + rt/n)ⁿ。由此可以研究复利间隔越来越短时会发生什么。

更频繁的复利会提高最终余额，但不会无限增长。100 美元以 12% 名义年利率连续复利，一年后的极限约为 112.75 美元。数值试验能提示极限，却不能构成证明。

一位听众问，四元数是否像复数可由 x² = −1 引出一样，源于求解多项式的需要。Sanderson 说，四元数的历史与描述三维运动和旋转有关。

标准极限 (1 + 1/n)ⁿ 趋近于 e，约为 2.71828。令 x = rt，连续增长的表达式就是 M₀eʳᵗ；利率问题为理解这个常数提供了直觉。

指数函数也可以写成无穷级数 1 + x + x²/2! + x³/3! + ……Sanderson 建议把有限复利表达式展开，作为理解两种描述为何相连的练习，同时指出严格证明需要更细致的工作。

现在把假设利率设为 i。把 eⁱᵗ 理解成将 e 自乘虚数次并无帮助，但 (1 + it/n)ⁿ 仍然只使用熟悉的复数运算。

在复平面上，乘以 i 会把向量旋转 90 度。每一小段利息变化都垂直于当前余额；加上它后，余额就移动到新的复数位置。

复利频率很重要。初始 1 美元以利率 i 每年复利一次，一年后是 1 + i，两年后是 2i。四年后是 −4，八年后则是 16。

当每一步趋于无穷小时，反复垂直变化的轨迹趋向圆周运动，而非向外螺旋。连续表达式 eⁱᵗ 沿单位圆运动，t 对应以弧度计的角度。

从一个实数美元开始，经过 π/2 个时间单位后变为 i，经过 π 后变为 −1，经过 2π 后回到 1。银行故事虽是幻想，圆周运动却是有用的数学模型。

同样的结构出现在理想弹簧中。胡克定律把回复力近似写为 F = −kx：在模型适用范围内，物体偏离平衡位置越远，拉回的力越大。

牛顿定律 F = ma 将它转化为加速度 a = −(k/m)x。位置影响加速度，加速度改变速度，速度又改变位置。

关于旋转和四元数的旁支问题中，二维旋转有一个角度自由度；三维旋转轴需要两个参数，旋转角再需要一个。单位四元数提供了一种方便的高维表示。

课程中还说四维旋转有十个自由度。仅计算旋转时，正确数量是六个：n 维旋转有 n(n−1)/2 个独立参数。

选择单位使 k/m = 1，可以把方程简化为 dx/dt = v 和 dv/dt = −x。在很短的时间内，Δx ≈ vΔt，Δv ≈ −xΔt。

将状态表示为点 (x, v)，其微小变化与 (v, −x) 成正比，垂直于状态向量。因此在这个归一化相空间中，位置和速度一起沿圆周变化。

把这对数合成 z = x + iv，就得到 dz/dt = −iz，因为 −i(x + iv) = v − ix。弹簧的联立方程变成了与虚数复利同类的复数增长方程，只是旋转方向相反。

解为 z(t) = z(0)e⁻ⁱᵗ。在无摩擦的理想模型中，状态持续绕圆运动；实部和虚部分别给出振动物体的位置与速度。

欧拉公式给出 e⁻ⁱᵗ = cos t − i sin t。如果初始位置为 1、速度为 0，位置遵循 cos t，速度遵循 −sin t：它们是同一圆周运动的两个正弦投影。

虚数利率对于金钱来说并不现实，但沿着这个数学问题推演，却得到振动的具体描述。Sanderson 指出，类似的复数形式也出现在更高阶的力学理论中。

最后一个听众问题回到上次作业中的矩阵指数。指数函数不仅可以对普通数字，也可以通过幂级数对矩阵定义。

熟悉的恒等式 exp(A + B) = exp(A)exp(B) 在通常证明中依赖交换性。矩阵不一定可交换，因此该恒等式对任意矩阵一般不成立，但 A 与 B 可交换时成立。

Sanderson 提醒，指数记号可能让人误以为某些规则在矩阵和四元数等不可交换情形下仍然成立。作业的目的，就是看清二项式展开中交换性所起的作用。