贝叶斯定理与更新判断的几何图像

贝叶斯定理描述证据如何更新先验概率。视频先建立直觉和几何理解，再给出公式。

主讲人介绍害羞、整洁且注重细节的 Steve，问他更可能是图书管理员还是农民。这个例子来自 Kahneman 和 Tversky 的研究。

刻板印象可能让人选择图书管理员，但基础比例也很重要。例子假设每名图书管理员对应 20 名农民；这只是演示，并非当前就业统计。

设想 200 名农民和 10 名图书管理员。如果描述适用于 10% 的农民和 40% 的图书管理员，就分别有 20 人和 4 人符合；在这 24 人中，4 人是图书管理员。

在这些假设下，概率为 4/24，约 16.7%。即使图书管理员符合描述的概率是四倍，也不足以抵消假设中的 20 比 1 基础比例。

关键是证据更新先验判断，而不是孤立地决定答案。采用不同的合理输入会得到不同数值结果。

设 H 为假设、E 为观察到的证据。条件概率 P(H|E) 询问在只考虑 E 成立的情况时，H 有多大可能。

分子 P(E|H)P(H) 是假设与证据同时成立的概率。分母 P(E) 包括 H 成立和不成立时出现证据的所有情况。

贝叶斯公式为 P(H|E) = P(E|H)P(H)/P(E)，前提是 P(E) 大于零。它表示在证据成立的情况中，假设也成立的比例。

主讲人提到科学、机器学习和显式概率模型中的应用。只要用先验和似然更新判断，就会用到同样的计算。

单位正方形提供了一个图像：宽度表示 H 的先验概率，每个区域的高度表示相应条件下证据出现的概率。

重叠区域的面积是 P(H)P(E|H)。把它与证据成立的总面积相比，就得到后验概率。

第二个 Linda 例子说明合取谬误：一个人既是银行职员又是女权主义者的概率，不可能大于其是银行职员的概率。

把同一个问题表述为 100 人中有多少人，可能使包含关系更容易看清。视频用频数表述连接直觉与概率规则。

正方形图和计数法都先限定证据成立的情况，再询问其中符合假设的比例；两者是同一计算的不同视角。

Steve 例子也有争议，因为 Steve 如何被选中、描述如何产生，都会影响应采用的先验和似然。贝叶斯定理本身不会替我们提供这些假设。