平均高度与平均斜率如何连接积分和导数

3Blue1Brown 用连续函数的平均值，为积分与导数的关系提供另一种视角。例子是 sin x 在 0 到 π 区间内的高度。

正弦波可以模拟周期性变化，因此一个周期内部分区间的平均值可能有用。视频先简化为纯粹的正弦函数，再考虑现实应用中的常数。

有限平均值把各个数相加，再除以数量。连续区间有无限多个输入，因此不能直接用普通求和除以无穷大。

可以先在区间内均匀取有限个点，求这些高度的平均值。对于这个性质良好的函数，随着间距缩小，有限平均值趋近连续平均值。

积分也从有限近似开始，但相加的是高度乘宽度，即 sin x Δx。分割越来越细时，这些和的极限就是积分。

在宽度为 π 的区间内，如果采样间距为 Δx，样本数量约为 π/Δx。将它代入有限平均值，分子便成为高度乘 Δx 的和。

取极限后得到 sin x 从 0 到 π 的积分再除以 π。从几何上看，这是曲线下面积除以区间宽度，也就是平均高度。

计算积分时使用原函数：−cos x 的导数是 sin x。它在零点的值为 −1，在 π 处的值为 1。

原函数的变化量为 2，因此积分等于 2，平均高度为 2/π，约为 0.64。这个平均值低于峰值高度 1。

同一个计算也可以看作斜率：−cos x 的变化量除以 x 的变化量，就是两个端点之间割线的斜率。

在每个点，sin x 给出 −cos x 的切线斜率。在区间上平均这些斜率，得到总变化量除以区间长度。

对于 [a,b] 上可积的函数 f，其平均值等于从 a 到 b 的积分乘以 1/(b−a)。坐标轴下方的面积计为负，因此积分是有符号面积。

如果在通常条件下 F 是 f 的原函数，微积分基本定理给出积分为 F(b) − F(a)。再除以 b − a，就得到 F 的割线斜率。

给原函数加上常数会使图像上下平移，但端点之差不变。因此平均斜率不取决于选择了哪一个竖直平移。

最后的启发是一个寻找积分的信号：当有限情形中的概念涉及许多数相加，需要扩展到连续范围时，可以先用有限和近似，再研究极限。