把欧拉恒等式看作旋转：3Blue1Brown 的早期讲解

这部早期 3Blue1Brown 视频提供理解欧拉恒等式 e^(πi) = −1 的直观路径。它把数字重新看作变换，而不是从微积分推导开始。

对于自然数指数，乘方类似重复相乘。把指数函数扩展到实数和复数输入需要更广泛的定义；视频从其结构性质入手。

实数可以表示数轴上的点、使数轴平移的加法，或使数轴伸缩或翻转的乘法。连续进行加法对应于把加数相加。

乘法固定零点，把一移动到乘数的位置，同时一致地缩放数轴。连续进行两个这样的变换对应于把两个数相乘。

指数函数连接两种运算：exp(a + b) = exp(a) exp(b)。它把输入的和变成输出的积，也因此解释了整数指数下的重复相乘。

其他底数的指数函数也有把加法变成乘法的性质。自然指数函数采用特定归一化，例如它在零点的导数为一。视频指出，e 是该函数在一处的值。

复数把这个图像从数轴扩展到平面。加法平移平面；乘以非零复数则结合绕零点旋转与缩放。

乘以 i 使平面旋转四分之一圈。连续应用两次得到半圈，与乘以 −1 的作用相同，因此 i² = −1。

自然指数函数把纯虚数输入 iθ 映射为单位圆上旋转 θ 弧度。直观地说，沿虚轴移动会绕单位圆前进，而半径不变。

一整圈是 2π 弧度，因此 π 弧度是半圈，到达 −1。所以 exp(iπ) = −1。讲述者推荐后续视频提供更完整的证明，简介也指出另有改进版本。