把导数看作变换：不动点的稳定性

Grant Sanderson 提供导数的变换视角：除了看图像斜率，还可以想象函数如何移动数轴上相邻的点。视频属于《微积分的本质》系列，并有赞助支持。

在局部，导数描述微小输入位移近似被缩放的倍数。负导数会反转方向；导数为零意味着最佳一阶线性近似将微小位移压缩为零。

对于 f(x) = x²，导数为 2x：在 1 附近缩放因子为 2，在 3 附近为 6，在 −2 附近为 −4。在零附近，一阶局部因子为零。

他将这一思路应用于反复计算 f(x) = 1 + 1/x。求解 x = f(x) 得到两个不动点：黄金比例 φ 和 −1/φ。仅有不动点方程不能说明迭代会收敛到哪个极限。

从 1 开始得到熟悉的正连分数极限 φ。负不动点只有在恰好从该点开始时才保持不动；附近的值会被推离。某些起始值，包括 0 和 −1，会使迭代中的某一步无定义，因此视频中“任意起始数字”的非正式说法需要这一限定。

蛛网图在 f 的图像和 y = x 之间交替移动，展示反复应用函数的过程。Sanderson 将其与直接在数轴上移动点的视角作比较。

在 φ 附近，导数 f′(φ) = −1/φ² 的绝对值小于 1，因此附近位移缩小。在 −1/φ 附近，导数的绝对值大于 1，因此附近位移扩大。

对于可微的一维迭代，满足 |f′| < 1 的不动点局部吸引附近点，|f′| > 1 的不动点局部排斥附近点。边界情形 |f′| = 1 需要进一步分析。变换视角也能自然延伸到高维导数。