叉积坐标为何符合几何意义

在《线性代数的本质》这一章中，Grant Sanderson 解释三维叉积的常见计算为何与其几何解释一致。视频简介更正了 1:44 处矩阵的第三行，应为 v₁w₂ − w₁v₂。

常见记忆法将基向量符号放在类似行列式的第一列，v 和 w 放在另外两列。展开后得到三个系数，将其理解为 v × w 的坐标。

从几何上看，v × w 同时垂直于两个向量，长度等于它们张成的平行四边形面积，方向遵循右手定则。当两向量平行时，叉积为零，因此没有唯一方向。

连接两种解释的桥梁是欧几里得空间中的对偶关系：从向量到实数的线性映射可以表示为与唯一向量的点积。

固定 v 和 w，定义关于 u 的函数 det[u, v, w]。它的值是三个向量张成的平行六面体的有符号体积。由于行列式对 u 是线性的，该函数有一个对应的对偶向量。

按 u 的坐标展开行列式，得到的系数正是叉积记忆法产生的坐标。因此对应向量 p 对每个 u 都满足 u · p = det[u, v, w]。

同一个有符号体积等于 v 和 w 张成的面积乘以 u 垂直于该平面的有符号分量。当 p 垂直于平面且长度为面积时，点积恰好产生这个量。

坐标计算和几何构造都表示同一个线性函数，因此它们对应的是同一个叉积向量。