导数与瞬时变化的悖论

在单个瞬间描述变化是什么意思？导数通过对非零时间间隔上的变化率取极限，给出了精确的数学答案。

想象一辆车从 A 出发，加速后在十秒钟抵达 100 米外的 B 并停下。将距离 s(t) 对时间作图：车慢时曲线平缓，每秒行驶更远时曲线更陡。

对应的速度图像先升后降。问题是，平均变化率通常比较两个不同时间，那么某个时刻的速度与距离曲线如何关联？

作为简化的测量例子，取从 t 到 t + Δt 的距离变化并除以 Δt。这是短时间内的平均速度，还不是精确导数。视频说明实际速度计通常使用其他物理机制。

在图上，Δt 是水平步长，Δs 是竖直变化。它们的比值是经过两个相近点的割线斜率。对许多时间重复计算，可以得到速度曲线的近似。

导数是当非零 Δt 趋近零时 [s(t + Δt) − s(t)] / Δt 的极限，前提是该极限存在。不能在原始商中直接令 Δt 等于零。

从几何上看，当函数可导且两点逐渐靠近时，割线斜率趋向切线斜率。这为极限提供了直观解释。

Sanderson 建议将导数理解为对局部变化的最佳线性近似。“瞬时变化率”是这一良好定义极限的标准简称，并不声称在零时长内发生了有限变化。

视频在引入概念时用 ds 和 dt 表示微小变化，随后用 ds/dt 表示作为极限的导数。在正式表达中，可以用 Δs/Δt 区分有限差商与导数记号。

对 s(t) = t³，在 t = 2 处的差商为 [(2 + Δt)³ − 2³] / Δt。展开立方并约去非零 Δt，得到 12 + 6Δt + (Δt)²。

当 Δt 趋近零时，剩余含 Δt 的项趋近零，留下 12。更一般地，t³ 的导数是 3t²，因此例子中 t = 2 时的速度为 12，单位由距离和时间单位决定。

这段代数推导出可重复使用的规则：一旦知道幂函数求导规则，就不必每次计算都重新展开差商。

在 t = 0，t³ 的导数为零，即使车辆在紧随其后的任意正时间间隔内都会移动。零导数描述该时刻局部的一阶变化率，并不意味着函数在附近保持不变。

例如，从 0 到 0.1 秒，距离变化 0.001 米，平均速度是每秒 0.01 米。随着时间间隔缩小，这个平均值趋近零，与导数一致。