二项分布与卖家评分问题

三个卖家提供相同商品：一位有 10 条好评、共 10 条评价；另一位有 48 条好评、共 50 条；第三位有 186 条好评、共 200 条。应如何在更高评分和更多观察带来的信心之间权衡？

本系列第一期介绍模型和二项分布；后续将讨论贝叶斯更新、连续概率密度和 beta 分布。不同假设与不同目标可能导致不同选择。

先看一个结果：拉普拉斯继承规则相当于假设多一条好评和一条差评，得到（好评数 + 1）/（总数 + 2）。三个卖家的结果分别是 11/12、49/52 和 187/202，因此在这个模型下，第二位卖家下一次获得好体验的预测概率最高。

模型把每次体验视为正面或负面，并假设每位卖家有一个固定但未知的成功概率 s。观察到满分不意味着 s = 1。例如，当 s = 0.95 且各次体验独立时，十次全为正面的概率是 0.95^10，约为 60%。

更广泛的问题是对底层长期概率本身的不确定性。一家工厂在最初 100 辆车中发现两辆有缺陷，并不因此知道真实缺陷率恰好是 2%；它需要根据有限数据推断。

首先问正向问题：如果知道 s，观察到这些评价数量的概率是多少？在 s = 0.95 下模拟许多组 50 条评价，恰好出现 48 条好评的比例约为 26.1%。

精确的二项式公式是 C(n, k) s^k (1−s)^(n−k)。对于 50 条中 48 条好评，C(50,48) = 1,225 计算两条差评可能出现的排列数；每一种特定排列的概率是 0.95^48 × 0.05^2。

把概率相乘要求假设各次体验相互独立且具有相同成功概率。在这些假设下，结果约为 0.261，与模拟一致。二项分布给出固定次数试验中各个成功次数的概率。

正向概率 P(数据 | s) 与最终关心的 P(s | 数据) 不同。为了建立直觉，可以改变 s，画出观察到 50 条中 48 条好评的可能性。似然在 s = 0.96 时达到最大值。

在 s = 1 时，按照模型观察到两条差评是不可能的，因此似然趋于零。如果评价数量增加很多而观察比例不变，似然会更集中在 0.96 附近。

仅有最大似然估计不能回答最初的预测问题。10 条评价全部为正面时，似然 s^10 在 1 处最大，但这不能证明下一次体验一定是正面的。

对可能概率范围取“重心”的直觉指向了对不确定性的考虑。下一步需要贝叶斯公式和概率密度；讲解者把推导留给下一期。前面每类各加一的规则对应特定先验和建模假设。