奶奶的秘密大学基金：一道贝叶斯定理谜题

摘要

30 秒看懂

在这期 Real Numbers 中，Sawyer 提出一个存钱罐挑战：周日放入的纸币未知，而随机抽出的是一张 20 美元纸币；新问题留给观众解答。随后，他用贝叶斯定理、补事件和 100 人计数三种方法解答上期 DMV 问题，得到 11/15。

全文

对照原始文稿

随机抽出的一张 20 美元纸币为周日隐藏的存款提供了证据。Sawyer 将更新后的概率留给观众挑战。

Sawyer 介绍一道关于慷慨的奶奶和秘密大学基金的概率谜题。在不知多少周的时间里，奶奶每周日都独立地以相同概率选择一张 1 美元或 20 美元纸币，放入存钱罐。

周六，奶奶透露存钱罐里有三张 20 美元纸币，但没有说有多少张 1 美元纸币。周日她又随机放入一张纸币。周一，你从中等概率随机抽出一张，发现是 20 美元。那么周日放入的也是 20 美元纸币的概率是多少？Sawyer 将这道新题留给观众。

看到抽出的纸币之前，周日放入 20 美元的概率是二分之一。抽出一张 20 美元纸币提供了新信息，因此任务是更新这个先验概率。贝叶斯定理说明了如何更新；本期通过上周的问题展示它的用法。

上期的学习率和通过率得出条件概率 11/15。使用补事件可以缩短计算。

在上期问题中，Evelyn 知道 DMV 申请人中 60% 学习过，75% 通过考试，而没有学习的申请人通过考试的概率为 50%。得知某人通过考试后，她想知道这个人学习过的概率。

贝叶斯定理给出 P(study | pass) = P(pass | study) × P(study) / P(pass)。学习率和总体通过率已知，因此先用全概率公式求 P(pass | study)：总体通过率是学习者和未学习者通过率的加权平均。

代入已知数值得到 3/4 = (3/5) P(pass | study) + (2/5)(1/2)。解得 P(pass | study) = 11/12。再用贝叶斯定理得到 (11/12)(3/5)/(3/4) = 11/15，即通过考试的申请人学习过的概率。

还有一条更短的路径：直接计算 P(not study | pass) = (1/2)(2/5)/(3/4) = 4/15。取补事件得到 P(study | pass) = 1 − 4/15 = 11/15，结果相同。

用 100 人计数得到相同结果。Sawyer 回到存钱罐问题，请观众解答。

用 100 名申请人画图可以再次检验：60 人学习过，40 人没有；75 人通过，25 人未通过。40 名未学习者中一半通过，因此 20 人通过、20 人未通过。为了符合总数，60 名学习者中 55 人通过、5 人未通过。

75 名通过考试的申请人中，55 人学习过。因此概率是 55/75 = 11/15，与前面两种计算一致。这种计数表示明确了条件：得知某人通过考试后，分母只保留通过考试的人。

节目回到存钱罐问题：周六其中有三张 20 美元纸币和数量未知的 1 美元纸币，周日又随机放入一张 1 美元或 20 美元纸币。周一随机抽出的是 20 美元。观众受邀计算周日放入的纸币是 20 美元的概率。