艺术品窃贼的窗户与玩具船的返程

Sawyer 在 Real Numbers 中介绍一道几何挑战：艺术博物馆的窗锁坏了，馆长想知道艺术品窃贼能将哪些画作从打开的窗户滑出去。

窗户由边长 1 米的正方形和顶部半圆组成，半圆的直径是正方形的上边。矩形带框画作宽 3 米，高度各不相同。将画框视为二维，并假设画作不能从框中取出，也不能弯曲或折叠。能够通过窗户的最高画框有多高？Sawyer 将本周的问题留给观众解答。

回到这一问题之前，Sawyer 先解答上期的玩具船问题。两条平行河岸相距 100 米。朋友在码头将玩具船 Wavey 指向正对面的河岸，但水流将船带到你所在码头下游 60 米处。

返程时，马达和水流各自的速度保持不变。第一次航行中，马达推动船横跨河流 100 米，水流使船向下游漂移 60 米，因此马达速度是水流速度的 5/3 倍。目标是向上游瞄准，使水流恰好把船带到朋友的码头。

将你的位置记为 A，瞄准点记为 B，B 在朋友上游 x 米处。马达会沿 AB 推动船，水流则将船向下游带动 x 米。根据勾股定理，速度比给出 5/3 = AB/x = √(100² + (x+60)²)/x。

消去分母并平方，得到 25x² = 9(10,000 + x² + 120x + 3,600)，即 16x² − 1,080x − 122,400 = 0。求根公式给出 x = 255/2 或 x = −60。负根是增根：所求距离为正，平方也可能引入不满足原方程的解。

有效答案是瞄准朋友码头上游 255/2 米，即 127.5 米处。Sawyer 随后寻找一种不使用勾股定理的几何方法，以揭示这个构造的更多性质。

将你的码头记为 C，朋友的码头记为 D，马达轨迹的交点记为 E。由于河岸平行，三角形 ACE 与 BDE 相似，因此 CE/AC = DE/BD，且 AE/AC = BE/BD。

马达速度与水流速度之比还给出 CD/AC = AB/BD。将 CD 写成 CE+DE，AB 写成 AE+BE，代入相似三角形的比例并提取公因式，便可得到 DE = AE。因此三角形 ADE 是等腰三角形，角 EAD 与 EDA 相等；将它们都记为 θ。

作 AF 垂直于河岸，F 位于 A 的正对岸。由平行线可知角 DAF 也等于 θ，所以角 BAF 为 2θ。由于 tan θ = AC/CD = 60/100 = 3/5，二倍角公式给出 tan(2θ) = 15/8。

在直角三角形 ABF 中，tan(2θ) = (x+60)/100。令它等于 15/8，再次得到 x = 255/2 = 127.5 米。Sawyer 最后回到拱形窗户谜题，邀请观众提交解答。