刨冰圆锥的几何谜题与存钱罐概率

这周我们从概率转向一道几何谜题。我们要设计一个圆锥形的刨冰托，其边缘必须恰好围住半径为 5 厘米的球形调味刨冰的赤道，体积必须等于球的下半部分的体积。这个托的精确形状是什么？请提交形状描述和解题过程。

首先来解答上周的题目。星期六，你的奶奶在存钱罐里放了三张 20 美元纸币和数量未知的 1 美元纸币。星期天，她又放入一张纸币，放入 20 美元或 1 美元的概率相同。星期一，你随机抽出一张，发现是 20 美元。奶奶放入的是 20 美元的概率是多少？

一开始信息似乎不够：我们不知道纸币总数。但令人惊讶的是，这个数字并不影响结果。设星期六的 1 美元纸币数量为 n。我们关注的事件是奶奶放入哪种纸币，以及你是否抽到了 20 美元；两种放入情况的先验概率均为 1/2。

根据贝叶斯定理，P（放入 20 美元｜抽到 20 美元）等于 P（抽到 20 美元｜放入 20 美元）乘以 P（放入 20 美元），再除以 P（抽到 20 美元）。如果奶奶放入 20 美元，存钱罐里就有四张 20 美元和 n 张 1 美元，抽到 20 美元的概率为 4/(n+4)。

要计算抽到 20 美元的无条件概率，可以分成两种放入情况：它等于 (1/2) × 4/(n+4) + (1/2) × 3/(n+4)，即 7/(2n+8)。代入贝叶斯定理得到 4/7：含 n 的项抵消了。

后验概率 4/7 略大于先验概率 1/2。抽到 20 美元是存钱罐里有更多 20 美元纸币的证据，因此提高了奶奶放入一张 20 美元纸币的概率。

还可以换一种方法理解。想象原来的存钱罐有两个副本，每个都装着三张 20 美元和 n 张 1 美元。往左边的罐子放一张 20 美元，往右边放一张 1 美元。从这两个等可能、纸币数量相同的罐子中随机抽取一张纸币，就同时表示了放入和抽取两个事件。

以抽到 20 美元为条件，两个副本中只剩七张可能的 20 美元纸币。其中四张在左边的罐子里，也就是奶奶放入 20 美元的情况，因此条件概率是 4/7。现在回到几何题：找出一个圆锥，使其边缘与球的赤道吻合，体积等于球体积的一半。