指示变量：行进乐队与滑雪板

欢迎来到 Real Numbers，我们在解决问题的过程中探索数学。本周我们继续研究期望，题目与一位单板滑雪教练有关。

Rachel 每周六天教授私人滑雪课。每天她的学生从她的六块滑雪板中等概率随机选一块。每周结束时，她要打磨所有至少使用过一次的板。平均而言，她每周需要打磨多少块板？

在解决这个问题之前，我们先来解答上一期的行进乐队问题。40 名队员排成十排，每排四人。每人独立地以左脚或右脚起步，概率各为二分之一。我们想求每排所有人都用同一只脚起步的队列数量的期望。

设 X 为步伐一致的队列数量。如果第 i 排步伐一致，令 Xᵢ 为 1，否则为 0。那么 X 就是十个 Xᵢ 之和。这种取值为 0 或 1 的变量称为指示变量，可以将复杂的计数拆成更简单的部分。

指示变量的期望等于其条件成立的概率：0 乘以失败的概率，加上 1 乘以成功的概率。对于第一排，步伐一致有两种情况：四人都用左脚起步，或者四人都用右脚起步。

每种情况的概率都是 (1/2)⁴ = 1/16，因此一排步伐一致的概率为 1/8。每排的期望相同。根据期望的线性性，总期望为十倍的 1/8，也就是 5/4：平均有 1.25 次拍出好照片的机会。

附加问题改变了人数分布：恰好有 20 名乐手用左脚起步，20 名用右脚起步，他们随机排成各排。我们仍然可以使用相同的指示变量，但一排步伐一致的概率会改变。

无论第一位乐手用哪只脚起步，剩余 39 人中都有 19 人使用同一只脚。接下来两个位置使用同一只脚的概率分别为 18/38 和 17/37。因此第一排步伐一致的概率是 (19/39)(18/38)(17/37) = 51/481，约为 0.106。

十排具有相同的期望，因此根据线性性，步伐一致的队列数量的期望为 510/481，约为 1.06。这些指示变量并不独立：一排是否步伐一致会微妙地改变另一排步伐一致的概率。

为了看出这种依赖关系，假设前九排都步伐一致。由于左右脚起步的人各有 20 名，剩下的四名乐手必然都用同一只脚起步。因此第十排一定步伐一致，这与其无条件概率不同。

即使指示变量相互依赖，期望的线性性仍然成立，因此我们不需要计算各排之间所有的相互影响。这个期望比独立选择起步脚的情形更低：一排中已有三人用同一只脚起步后，剩余使用那只脚的人更少，因此更难凑齐整排。

现在回到 Rachel 的六节课和六块滑雪板。计算至少使用过一次的板的数量，也许可以为每块板定义一个指示变量。她预期需要打磨多少块板？