AI、数学与证明的意义

Lex Fridman 召集了一场紧急对谈，讨论数学界令人震动的新时刻：近期，AI 系统声称在纳维–斯托克斯方程、某个版本的黎曼猜想、唯一博弈猜想及许多其他问题上取得进展。参与对谈的有华盛顿大学流体动力学专家 Steven Brunton、麻省理工学院数学家及理论计算机科学家 Ankur Moitra，以及研究黎曼猜想和机器验证证明等问题的罗格斯大学数论学家 Alex Kontorovich。 编者说明：[OpenAI 发布了论文和 Lean 形式化材料](https://openai.com/index/sharing-ai-progress-in-mathematics/)；机器检查本身不能保证形式化命题与研究者所指的命题一致，也不等于数学界已完成独立审查。完整的黎曼猜想与拟黎曼猜想成果是不同的问题。

Fridman 问三位数学家如何看待这个既令人惊叹又令人焦虑的时刻。Kontorovich 认为，动荡中也有机会。

过去几个世纪，数学家探索未知，就像举着一支蜡烛在森林里行走；现在，他们有了一支手电筒。面对同样的新可能，有人兴奋，有人担忧，有时一个人会同时感受到两者。

Moitra 说，近期的成果并非完全出乎意料：此前已有传闻，称研究者在唯一博弈猜想和 RL = L 等问题上取得进展。成果公开后，研究者终于可以审视它们，他对此感到宽慰。但他的感受也存在拉扯：AI 工具可以像专家一样，用研究者熟悉的语言讲解陌生领域，帮助人们跨学科建立联系。

另一方面，Moitra 很珍视指导学生和博士后共同经历研究过程。如今，原有的指导路径似乎不再稳固。

如果 AI 能大规模地产生成果，就更难告诉年轻研究者哪些工作会产生影响、哪些工作能帮助他们建立声誉。他对工具感到兴奋，却也觉得在智识探索上更加孤独：急于脱颖而出的压力，可能侵蚀把朴素问题培育成深刻思想所需的耐心。

Fridman 提到陶哲轩的担忧：成果的快速发布可能打乱研究生和博士后多年耐心、缓慢推进的工作。

一旦答案已经被揭晓，研究者就无法再以问题尚未解决时的心态经历同样的探索。Fridman 将这种方向感的丧失，与一些程序员在 AI 开始编写大量代码时感受到的震动相比较。

Brunton 对解决应用问题、改进人工心脏和飞机等技术的前景总体上持乐观态度，但他也承认，人们担心自己会在热爱的过程中失去有意义的角色。未来可能出现远超人类的智能，也可能是工具大幅扩展人类的好奇心与解题能力；两种可能之间的不确定性令人不安。

对 Brunton 而言，这个时刻也促使人们重新思考，怎样才算有意义的人生。

做数学并不只是为了名声和奖牌：好奇、理解世界、帮助他人以及解决有趣的问题，同样重要。他承认年轻研究者更难选择方向，同时也相信他们有能力适应变化。

被问到知道问题已有答案是否会削弱研究动力时，Brunton 说，过程和目的地同样重要。

但知道某件事可以做到，也可能激励人们重新推导并理解它。别处的发现或许会促使研究者更快地展开独立探索，弄清成果是如何实现的。

Fridman 请嘉宾设想两种未来：一种是 AI 实际上接管数学解题，另一种是人类熟悉的数学研究仍然延续。Kontorovich 将 AI 可能“解决”数学的问题，与它是否会摧毁数学这个领域的问题区分开来。

Kontorovich 以国际象棋作类比。早期人们曾期待人机组成的“半人马”队伍，但在顶级竞技中，引擎变得如此强大，以至于人类偏离其建议通常没有好处。

他提出一个假设性的“解决公理”：凡是人类与 AI 合作能解决的问题，AI 独自也能解决。他强调，这只是关于未来的一种假设，并非对现状的描述；即使成立，也不意味着所有数学问题都已解决。

即便接受这个假设，Kontorovich 也不认为纯数学会失去目的。工程成果常因外部应用而受到重视，纯数学则源于好奇心。在他看来，价值不只是数据中心的二进制数据中存在一份证明，更在于人类头脑中存在对它的理解。

Moitra 提醒大家，不要用单一目标衡量数学。研究者无法同时记住所有论文和思想，因此，为了取得成果，人可能发展出抽象方法，揭示联系并帮助解决相邻问题。对他来说，面对一个令人惊叹的定理，重要的不只是结论是否成立，还有证明如何运作，以及整个研究群体从中学到了什么。

Fridman 问，人类的注意力和选择重要问题的能力是否会变得更加关键。Kontorovich 指出，逻辑上可以证明的命题远多于人类关心的命题。

AI 也许最终能指出有趣的结构或定义，但数学家为什么对某些问题感到兴奋，仍与人类的兴趣密切相关。Fridman 补充说，问题可能因实际用途、美感、难度，或人们相信追求它会带来有用工具而引人关注。

Moitra 讲述自己的做法：寻找自己仍然无法解决的最简单开放问题，哪怕它起初简单得令人不好意思。

解决这样的例子可能为更大的目标积累工具。研究者需要更加有意识地决定把哪些思考交给机器，以及当人类直觉难以选择证明方向时，如何利用智能协作者探索不同分支。

他把将数学简化为证明定理称作一种“门童谬误”：旁观者看到门童开门，便认为自动门能取代整份工作，却忽略了人际关系和其他服务。

同样，证明著名猜想是数学中容易看见的成果，但数学家还会创造理论、改变看问题的方式、连接不同思想。Moitra 并未排除 AI 最终也能做到这些事；他认为，当下需要讨论这个领域的多种价值，而不是恐慌。

Fridman 问起美。Kontorovich 说，直到最近，证明深刻新定理的能力还与数学家真正珍视的美感、理解和思想深度高度相关。

如今，一个系统按下按钮就可能产生成果，这种关联受到挑战。Brunton 补充，提出有趣且可解决的问题、选择有用的子问题，本身一直需要数学判断力。

Moitra 同意，但强调提出好问题和解释重要思想同样需要数学洞见，不能将其简化成宣传或表演。他尤其担心研究机构面临的变化。

过去，研究生有一条相对清晰的道路：改进一个大家关心的问题、发表论文、获得认可。如今成果不断涌现，数学界需要重新思考如何识别和支持能够影响整个群体的思想。

Kontorovich 回到那个假设性的解决公理，表示他不认为它现在成立。数学家有时先证明了一个结论，却还不理解证明为何有效，之后才进一步探索和推广背后的现象。Brunton 说，简单性和普遍性仍是数学的理想；目前仍由人类为 AI 选择问题，他希望未来系统也能提出值得追问的问题。

Brunton 指出，物理学中已经出现自动发现：系统可以从观察中找回已知规律，例如从物体下落推导重力，或恢复描述流体的方程。

研究者希望将类似方法用于湍流和太阳耀斑等尚缺少公认简单方程的现象。他曾试图明确指出某种大语言模型永远做不到的人类数学贡献，但发现很难自信地划出这样的界限。

Brunton 说，即便 AI 最终能够做出人类数学家能做的一切贡献，数学共同体仍需要具备专业知识的人。

Moitra 同样不认为“解决公理”描述了现状。他预期还会有令人意外的进展，但提醒人们不要假定机器与人类使用相同的解题方式。

Moitra 用图像识别中的对抗样本说明差异：对人来说几乎不改变图像的细微图案，却可能让神经网络错误分类。他描述了一项实验：研究者用带有这些图案、并故意标错标签的图像训练网络，它竟仍能识别普通图像，因为它利用了人类通常不会使用的统计特征。他读过的 AI 生成证明在形式上也与人类解法有明显差异。这种差异可能为合作创造机会，但他承认，任何自信划定的能力边界都可能很快被突破。

Fridman 问，AI 是只在连接已知论文，还是创造了新的数学思想。

Kontorovich 说，他看到的拟黎曼猜想相关工作将已知步骤串成了一条漫长而惊人的链。他不愿用“已有思想的凸包”来轻视这类成果，而更喜欢 Tim Gowers 提出的半群类比：反复组合已知操作，可能走得比一个有边界的气球所暗示的远得多。

Kontorovich 将一个有边界的组合图景与铺瓷砖作对比：即使每一步操作都很熟悉，反复组合也可能让构造延伸得很远。

他谨慎地区分了这种能力与另一个问题：系统是否提出了全新的数学概念。

Kontorovich 指出，有些长期著名的难题最终会得到一份简短、初等、原本多年以前就可能被发现的证明。AI 特别擅长发现：把现有技术以正确方式组合，就能触及研究者原以为遥不可及的问题。

Moitra 补充，即使证明材料都是已知的，结果本身也可能改变一个领域的研究议程。他以 3SUM 研究为例：更快的算法挑战了研究者用来关联许多问题难度的假设，也改变了他们组织后续研究的方式。

嘉宾讨论了假设中高效整数分解算法的影响。Kontorovich 解释，大数相乘容易，而用已知经典方法从乘积找回质因数很难；这种不对称性支撑了重要的公钥密码方案。

Moitra 指出，量子分解算法已经存在，研究者也在发展后量子密码学。他们将这种假设性的后果与正在讨论的实际成果区分开来。

Brunton 认为，即使系统只是重新组合人类已有知识，也可能非常有价值：人类已知事物之间的联系并不透明，揭示这些联系就像驱散知识版图上的迷雾。

Kontorovich 仍然区分组合旧思想与引入真正新的定义或概念。Moitra 预计，随着 AI 使跨越专业领域的联系更容易被探索，广泛的数学训练会更加有价值。

对话转向研究者如何交流和获得认可。

Brunton 说，在工程和应用科学中，贡献早已不只是传统论文，还包括可复用的代码、数据、基础设施和大型合作项目中的组件。随着研究共同体和 AI 系统继续在其上构建，这些共享基础材料可能更加有用。

Fridman 将开源维护者被大量贡献淹没的压力，与学术审稿人的负担相比较。Kontorovich 说，AI 出现之前数学期刊就已经不堪重负，但审稿发挥着关键作用：证明要经过共同体缓慢、精确的审查，才能被接受。他回忆 Grigori Perelman 向研究者讲解庞加莱猜想的工作，而后者花了多年检查细节；提出解答只是验证的开始，而不是终点。

Brunton 认为数学可能走向类似物理学和工程学的更大型合作模式，但他也指出数学家通常重视独立性。

Moitra 支持尝试能够缓解压力的新模式，而不是简单抛弃现有机构。他设想以协作方式追踪和验证快速变化的 AI 成果，让共同体共同贡献简化方法和解释，逐步形成共享的理解。

Moitra 说，一场研究报告可以突出论文的核心思想和最能说明问题的特例，而形式化工具可以协助处理部分技术细节。

Kontorovich 则提到 Mathlib 的拉取请求工作流：维护者和审查者可以公开提出改进，复用已有结果。Lean 中的形式化规范会明确列出假设，只有满足条件时才能复用相关结论。

Kontorovich 将 Lean 解释为交互式定理证明器。理想情况下，数学从公理和推理规则出发；Lean 检查形式化证明中的步骤是否符合这些规则。

Mathlib 提供经过维护的定义和结果库，研究者因此不必每次都从公理重建基础数学。Lean 是同类系统之一，也可用于检查代码是否满足形式化规范。

嘉宾说，形式化有助于检查近期一些 AI 生成的证明。Kontorovich 提醒，随机生成的 AI 系统给出一段流畅的自然语言论证，并不意味着论证自动可信。Lean 可以依据形式规则和所依赖的数学库检查证明，但形式化的命题仍须与人们想要表达的数学主张相符。

Moitra 问，如果一份证明通过机器检查，而专家却不理解其中的思想，研究者应该怎么办。

他说，形式验证可以增强信心，但理解还需要寻找有启发性的特例、辨认技术的来源，并提出更简单的问题。Kontorovich 则区分了证明的工程构造与向他人讲述证明的过程。

Kontorovich 以自己教实分析为例。教材可能先用有理数的柯西序列构造实数，再开始使用实数；他则先从学生直观理解的数轴讲起，等到一个关于收敛子列的定理揭示实数与有理数的差异时，再引入构造方法。建立理论所需的逻辑顺序，不一定是最有助于学习的讲述顺序。

他设想未来的论文更注重讲述发现的故事：常规方法在哪里遇阻，研究者为何选择某个方向，以及最终学到了什么。形式化证明可以随文附上，检查技术构造是否成立。Moitra 赞同：数学不只是不断堆积定理，与好问题搏斗会产生可能适用于更广泛场景的信念、抽象和联系。人可以逐行看懂证明，却仍然不明白它真正说明了什么。

Fridman 请 Kontorovich 解释黎曼猜想，以及为何报道中的拟黎曼猜想成果令他震惊。

Kontorovich 将 ζ 函数比作对素数进行信号分析：它的复数零点编码了素数分布的信息，类似频率与振幅可以表示并重建声音。在他的类比中，黎曼猜想说素数“交响乐团”的各个组成部分具有相同振幅。

Kontorovich 说，他原本没想到自己有生之年能看到拟黎曼猜想的证明。相关成果在一场数学界晚宴期间发布时，他最初难以相信自己看到的内容。他将拟黎曼猜想的成果与完整的黎曼猜想区分开来；按照对话中的说法，后者仍未解决。

此前不久，他还受到另一个冲击：一项 AI 辅助的费马大定理 Lean 形式化工作据称有约 1300 万行。

他此前的经验是，AI 能在 Mathlib 之上扩展一两层，但当工作远离现有库时，往往难以协调不同定义。他原以为完整形式化需要多年；在他一次讲座中讲述这些限制的几天后，相关结果就出现了。

Kontorovich 强调，没有未完成占位符、通过检查的证明，与优雅且组织良好的 Mathlib 贡献并不是一回事。后者需要将定义和中间结果重构为可复用、足够一般的形式；他认为这项工作仍然有价值。他关于小型人类团队参与程度的说法带有“据我了解”的限定，Fridman 也提醒，公开叙述可能没有包含此前大量的准备工作。

Kontorovich 回忆，早期语言模型已能帮他在 Mathlib 中寻找引理，即使他不知道引理的名称或所在位置。他之所以对规模大得多的形式化成果感到震惊，是因为他此前的经验表明：系统在局部能提供帮助，却仍难以协调相距较远的定义。

回到数论，Kontorovich 将素数称为乘法的基本粒子：每个正整数都可以分解为素数的乘积。

素数的分布仍然神秘，即便完整证明黎曼猜想，也无法回答有关素数的所有问题。它的重要性部分在于它预测了怎样一幅分布图景，以及一旦得到证明，数学家能够由此推导出的众多结果。

Moitra 讲了一个虚构故事：约翰·冯·诺依曼询问黎曼猜想是否为真。

单纯列出所有零点的回答无法令他满足，因为他想知道原因。Kontorovich 说，数学从根本上追求的是这种解释，而不只是收集事实。

Brunton 认为素数的迷人之处在于，它的神秘性来自孩子也能理解的加法和乘法。

知道一个数的因子，并不能直接告诉我们加一之后它的分解会怎样变化。Kontorovich 回忆，孩子曾用积木排出矩形；有一次少了一块，只剩 19 块，孩子发现无法排成非平凡的矩形，因此十分沮丧。

被问到拟黎曼结果让数学家离完整猜想还有多远时，Kontorovich 回答说不知道。他描述了复平面上的临界带，并解释猜想要求相关零点位于实部为二分之一的中心线上。他讨论的成果给出了实部在八分之七与一之间的一条无零点竖直带；他认为，这套方法似乎无法在没有新思想的情况下推进到二分之一。

嘉宾重新审视自己判断问题难度的能力。Moitra 说，他更加意识到这种预测的不确定性：公开报道中的成功成果，并不能告诉人们所有尝试但未获成功的问题。

他担心研究者如果害怕 AI 立刻利用某个新思想，可能会更倾向于保密。Kontorovich 希望数学界能保留开放分享，同时减少对“第一个抵达终点”的重视。

Brunton 转向纳维–斯托克斯方程。

它们表达了流体的动量守恒：将这一原理应用于一个体积，再让体积不断缩小，就得到描述流体速度和压力如何随空间与时间变化的偏微分方程。简洁的方程也可能描述极其复杂的系统；例如，模拟房间里的空气需要考虑无数微小区域之间的相互作用。

更好地预测湍流可能有助于改进飞机、人工心脏、风力涡轮机等系统。但设计高升力、低阻力机翼是一个逆问题：工程师知道自己想要的结果，却必须弄清形状如何影响一连串尺度不断缩小的涡流。

模拟需要大量计算资源，风洞等实体测试也很昂贵。Brunton 强调，写下通用方程，与知道其解可能呈现哪些现象之间，还有很大距离。

Kontorovich 问，数学上的发散是否可能揭示新物理，就像广义相对论中的奇异性帮助人们认识黑洞。

Brunton 区分了数学模型和真实流体：在足够小的尺度上，单个分子开始重要，连续介质方程不再适用。即便如此，方程是否会发散仍是广泛用于工程的模型中的一个基本问题，有助于理解它允许出现哪些行为。

Brunton 指出，弄清一个广泛使用的方程是否会产生奇点，只是理解其解的全部可能形态的第一步。

即使没有立刻可用的工程应用，他仍然重视对数学模型允许什么、其假设在何处可能不再描述真实流体的理解。

当 Kontorovich 问起工程用途时，Brunton 提到流体控制。

鸟和昆虫飞行时会操纵涡流，工程师也试图引导流体运动以达到目标。数学上的构造在这一背景下很有意思，但他并未声称它已经成为降低飞机阻力的现成方法。

Brunton 介绍方程的组成：每一点的速度向量、压力、流体运动所携带的动量、作为内部阻力的黏性，以及外部作用力。

蜂蜜、水和空气的黏性不同。难题在于，黏性是否总能抑制方程中非线性项造成的加速行为。

为便于理解，Brunton 比较了两个简单系统：一个状态的变化率等于它自身，另一个的变化率等于它的平方。前者指数增长，但不会在有限时间内达到无穷；后者则可能在有限时间内发散。

纳维–斯托克斯方程既有二次非线性项，也有黏性。数学问题是：精心选择的初始条件，以及某个版本中平滑的外力，能否在这种阻尼下仍然产生奇异性。

Brunton 将节目讨论的成果描述为三维纳维–斯托克斯问题某个带外力版本的反例。

经过精心安排的平滑外力形成一个不断拉长、变细的涡旋：流体总能量保持有限，局部细丝处的涡量却会发散。带外力的版本与其他表述之间的区别很重要。

三维湍流通常会让大涡旋逐渐分裂成更小的涡旋，直到能量以热的形式耗散。在大尺度天气等近似二维的系统中，小涡旋反而可能合并成大涡旋。

Brunton 将被拉长的涡旋比作花样滑冰运动员收紧手臂后转得更快。他说，这个反例令他吃惊，因为物理直觉会认为扩散应当抑制这种增长。

Brunton 认为这个定理在数学上很重要，但它不会立刻让日常工程模拟变得更容易。

飞机机翼和人工心脏仍需要昂贵的预测与实验。他把百万美元的数学问题与规模更大的高效预测、逆向设计工程挑战相比较，同时认为证明有助于理解方程允许出现什么行为。

湍流之所以困难，是因为许多尺度上的行为都很重要。普通气体虽然有无数分子在运动，却往往可以用压力、温度和密度等少数宏观量描述；机翼或心脏中的湍流则既受大尺度结构影响，也受小尺度结构影响。Brunton 问，是否能找到一种表示方式，用少得多的量捕捉足够多的行为。

他认为，寻找这种表示方式既需要数据，也需要数学。

模拟和观测可以帮助搜索让流体行为更简单、具有普遍性的坐标系；数学原理则可以限制变换的可能形式。他认为，重新研究早期研究者已经提出、却因计算能力不足而无法检验的想法，很有潜力。

Moitra 问，流体运动本身能够执行哪些计算任务，以及这是否会限制我们对它的简化。

他将问题与生命游戏相比较：简单规则可以产生丰富行为和通用计算。如果一个模型把所有东西压缩成少数几个数字，可能会丢掉回答特定问题所需的关键细节。

Brunton 对比了两种情况：预测当地天气时，许多尺度和变量都很重要；而飞行的昆虫面对湍流时，无需运行完整流体模拟也能做出反应。他希望既能在细节重要时表示复杂系统，也能提炼出快速决策所需的少数关键量。

Moitra 指出，自然界经常在信息不完整的情况下找到稳健解法。他以棒球外野手追球时走弧线路径为例：这种路径允许球员随观察不断修正判断。Brunton 描述了昆虫翅膀上的应变敏感神经元，它们对阵风做出反应，并帮助触发局部修正。这个例子说明，有效控制可能依靠局部信息，而不是完整的流场模型。

外野手的例子关键在于不确定性：球员可以在移动中不断更新球落点的估计，而不必一开始就知道完整轨迹。

Moitra 借此追问，合适的优化问题是否应当明确考虑信息有限这一条件。

Brunton 描述了一个相关的生物机制：昆虫翅膀上的应变敏感神经元会在阵风使翅膀弯曲时作出反应，从而触发局部肌肉修正。

这是利用局部观测实现稳健控制的例子，而不是对周围空气的每个细节进行完整模拟。

Moitra 介绍可满足性问题：给定布尔变量和由多个子句构成的公式，能否给变量赋予真假值，使所有子句都成立？

别人给出的赋值容易检查，自己找到它却可能很难。P 与 NP 问题大致追问：如果一个问题的解可以高效检查，是否也能高效找到解。

他解释概率可检验证明和差距放大的直觉：一种构造可以保留可满足的情况，同时让不可满足的情况在相当比例的检查中暴露错误。这与近似解的困难性有关：对于某些问题，即便只是区分完美解和最多只能满足较高比例约束的情形，也可能在计算上很难。

唯一博弈猜想涉及一类特定的约束问题。如果它成立，就能为大量其他问题建立最优近似界限。

Moitra 回忆了多年争论，也肯定人类研究者此前的进展，包括 Irit Dinur 和 Dor Minzer 的二对一博弈定理。他将报道中的 AI 辅助肯定性结果称为重大进展，同时表示共同体仍需消化证明。

传闻持续数周后成果终于公开，Moitra 感到宽慰，但他担心突然出现的解答会夺走研究者原本希望探索的路径。

即便这些路径没有产生最快的证明，也可能带来其他思想。在数学博物馆的一场活动中，他再次意识到，人们进入这个领域是为了玩味思想、理解世界；他希望机构能在论文激增的情况下保护这种好奇心。

Moitra 回忆，在成果公开前，他曾问提出唯一博弈猜想的 Subhash Khot 是否会阅读一份假设中给出肯定答案的证明；Khot 说不会。

Moitra 把这段对话视为长期追求似乎抵达终点时的一种个人反应，而不是对证明正确性的评价。

在数学博物馆，Moitra 看到儿童和成人玩味数学思想，也看到了埃舍尔作品展。

他担心向论文库大量投递文章的激励会挤压这种精神。他追问：不断变化的研究共同体如何继续鼓励好奇心、探索，以及过程中形成的抽象思想。

嘉宾回忆 Andrew Wiles 讲述自己修补费马大定理证明漏洞时的激动时刻。

Kontorovich 将按按钮获得答案比作被直升机直接送到山顶：这与亲自攀登的体验不同。他还介绍了自己参与的一项历时十年的合作研究；研究者在过程中逐渐发现正确的命题，而不是从一开始就拿到完整定义好的定理。

Moitra 说，他通过构建心智模型，把算法思维与相邻领域联系起来。作为导师，他逐渐学会把略微偏离自己专长的问题交给学生，再让学生向自己解释论文。

他们一起反推结果为何成立、辨认关键思想，并发现新问题。他认为 AI 可以让更多领域变得容易接近，但也可能取代他珍视的一部分人与人之间的交流。

Moitra 解释，他会尽量让学生主导理解论文，再反过来向他讲解并提炼核心思想。

两人可能借助并不完全准确的类比，寻找新近有望解决的问题。这种合作能带来独特视角，而不只是产生另一个答案。

他看到一个张力：研究愿景可能需要多年才能实现，学生却担心 AI 在未来几个月内改变一切。

Brunton 主张研究自己预计多年后仍会关心的问题。他在持续专注与对相邻领域的好奇之间寻找平衡：生物学、材料和流体都具有非线性、多尺度的复杂性，一个领域的洞见可能照亮另一个领域。

嘉宾讨论了理解生物学的困难，从神经连接到单个细胞内的相互作用。

Fridman 推测，生命互相交织的历史可能比 AI 目前处理的数学问题复杂得多。Brunton 同意，找到复杂系统中可以理解的合适尺度，本身就是重要的智识工作。

数学是发明的还是发现的？Kontorovich 给出一个务实的回答：人们受历史和现有知识影响而提出问题，再去发现答案。

Brunton 认为，数学既包含发明，也包含发现。人类创造简洁的数学描述来理解自然，而这些抽象竟然如此有效，令他感到惊奇。

谈到无穷时，Kontorovich 回顾了数学界过去在处理极限和连续函数时经历的危机。

看似符合直觉的论证有时会得到互相冲突的结论，迫使研究者建立更精确的基础。嘉宾指出，数学曾多次被认为陷入危机，后来又得以重建。

Moitra 认为 P 与 NP 是异常困难的问题。

复杂性理论研究算法能否在相对于输入大小的多项式时间内解决一个问题的所有实例。最坏情况分析之所以强大，恰恰在于它对输入作出的假设很少；但它可能无法解释为什么现实中的某些实例容易得多。

Moitra 解释，在最坏情况分析中，算法必须处理每一个允许的输入，不能先假设输入具有方便利用的结构。这使得它的保证很有力，但也可能无法解释：某个实际应用中遇到的实例为何往往比最难的例子容易。

他用在线算法说明在不知道未来输入时做决策的难题。在秘书问题中，如果候选人以随机顺序到来，一种策略是先观察一段样本，然后选择第一个优于此前所有人的候选人。

缓存管理也有类似问题：计算机不知道未来请求，却必须决定淘汰什么。仅凭最坏情况得到的保证，可能比实践中的表现差得多。

Moitra 认为，研究者必须追问现实输入具有什么结构，才让有用的算法成为可能。

建模的艺术在于：模型既要足够简化以便分析，也要保留真正重要的因素。他认为，决定从哪里切入、如何建立问题模型，会与解决精确定义的问题一样越来越重要。

被问到深度学习为何有效时，Moitra 说，近期的定理成果本身并没有解释语言模型。

拟合神经网络在最坏情况下可能是计算难题，但在许多自然数据集上训练却能成功。他推测，自然数据的结构和形成历史，可能使实践中遇到的问题比任意最坏情况更容易。

蛋白质折叠说明了这种区别：对任意序列建立的抽象优化问题可能很难，而生物序列经过选择，能够存续的序列可能更容易由物理过程稳健地折叠。Moitra 认为，理论机器学习需要更好的数据模型和世界模型，也需要具备批判这些模型的能力。

Moitra 介绍利用简化低秩模型研究“潜意识学习”的工作。他讲述的一项实验中，一个语言模型被提示偏爱猫头鹰，然后生成看似无关的数字；另一个模型用这些数字微调后，也开始更倾向于提到猫头鹰。他借此说明，训练数据可能携带表面上看不出来的影响。

他用一个向量直觉解释：如果许多概念被表示在维度有限的空间里，不同方向之间的小重叠可能使一个方向的调整影响其他方向；协调起来的微小影响还可能累积。

他将其比作许多轻微推力共同移动通灵板上的指针。当系统直接影响人，而不是只输出可以形式化检查的数学证明时，理解这些关系尤为重要。

Fridman 担心，随着能力更强的智能体使用工具并影响公共基础设施，微小而未被充分理解的倾向可能大规模相互作用。Brunton 建议用两个问题选择应用场景：输出有多容易验证？错误的后果有多严重？他认为可测试的设计探索很有前景，同时强调重大决策需要保留独立验证。

被问到哪些问题可能仍然困难时，嘉宾再次提到 P 与 NP，以及完整的黎曼猜想。

他们指出，即便 P 等于 NP，算法在实践中是否有用还取决于其运行时间。Moitra 还推测，现实中的不同实例可能因为不同的结构原因而容易，未必存在一个包罗万象的解释。

Fridman 问，拒绝了菲尔兹奖和克雷奖金的 Grigori Perelman 会如何看待这些新成果。Kontorovich 不愿替他发言，而是追问奖项的作用：它们表彰一个共同体认为重要的活动。如果解决著名难题不再稀缺，共同体可能需要重新思考应该认可哪些贡献。

Kontorovich 仍然看好数学中的人机合作。

学生读不懂论文开头时，可以让语言模型解释陌生术语，再逐步理解下一个概念。他说，学习数学仍然困难，但能够回应问题的工具可以帮助人更快找到适合自己的下一步。

Fridman 喜欢让模型提供简化示例和交互式解释，把陌生符号变得具体。他也担心动力问题：如果系统可以直接给出答案，人们是否还会愿意辛苦学习？Brunton 说，好奇心、提出好问题，以及质疑看似权威答案的能力会变得至关重要；如何把这些批判能力教给年轻学生，是一项严肃的教育挑战。

Kontorovich 将 AI 辅助与计算器作比较。即便计算器会乘法，学习乘法表仍能赋予学生进一步思考所需的能力；掌握技能本身也能带来独立性和满足感。他给数学博士生的建议是，尽可能学习自己能够掌握的高难度抽象数学；本科生则可以用 AI 检验并加深理解，而不是只拿答案。

Brunton 提醒，不要把智力等同于道德价值或智慧。他建议人们保持好奇，学习数学、物理和历史的基础知识，即使计算机能更好地完成计算。嘉宾还讨论了如何保护注意力，避免持续的干扰，并为无聊、探索和长时间专注留出空间。

Brunton 建议，即便计算机更擅长计算，人们仍应学习线性代数、微积分和物理等基础知识。

Fridman 接着区分持续的好奇心与网络内容不断吸引注意力的机制；Brunton 补充说，无聊有时能为专注和探索留出空间。

在讨论建议时，Moitra 强调内在动力。

外部奖励可以帮助人开始一段职业生涯，但里程碑总会走到尽头；人需要知道自己真正看重什么。随着熟悉的学术路径发生变化，他建议确定自己的目标并准备适应，而不是只用论文或简历衡量人生。

回忆起自己给麻省理工学院新生的建议，Moitra 质疑不断优化外部里程碑的生活：进入名校、获得体面工作、积累财富。

他提出一个思想实验：假装自己已经赢了，然后问自己会选择做什么。Brunton 补充说，一份令人满足的职业可以位于重要的问题、有趣的问题和自己擅长的事情的交集，同时承认三者兼得并无保证。

Fridman 指出嘉宾可能存在幸存者偏差，也承认许多尚未找到方向的人确实感到焦虑。他建议人们一方面参与共同体，另一方面保留足够的独立性去追求不寻常的想法。

Brunton 希望，强大的机器会让人与人之间的联系更显珍贵：科学工作对他很重要，但家人、朋友和陪伴孩子的时间才是生活的基础。对话在对面对面共同思考的感谢中结束。