陶哲轩：AI 生成证明，让数学理解更加重要

Tyler Cowen 欢迎加州大学洛杉矶分校数学家、《Six Math Essentials》作者陶哲轩，并问不同数学思想带给他怎样的感受。

陶哲轩认为欧拉恒等式之美在于它连接了多个常数，并将旋转表达为乘法。沿直角方向相乘把代数、几何和运动联系起来。

量子力学需要不熟悉的数学，也要求改变直觉：叠加态和干涉更能描述分子尺度的行为，尽管它们在日常生活中难以想象。

黎曼猜想与素数的分布有关。陶哲轩说，一旦得到证明，许多数论中的条件性结果将得到加强，其价值不只是解开一道谜题。

陶哲轩提到近期的进展，但说完整解决仍有距离。他描述了一个新困难：AI 可以产生想法或答案，数学家还需要努力理解和传达它们。

哥德尔不完备定理挑战了希尔伯特希望在固定规则内解决所有数学问题的设想。陶哲轩说，数学家逐渐接受了研究不同基础和体系。

他描述了一种多元观点：数学有标准体系，但其他几何和数系也有用。新证据改变领域时，他尝试更新自己的哲学观点。

陶哲轩说，数学史提供了课堂常常省略的故事和背景，让公式与方法变得生动。

他把数学比作科学和工程生态系统中的土壤：即便应用几十年后才出现，它仍提供基础和共同语言。

信息论不仅能展示更好的通信系统，还能确定信道的理论极限。知道方案已接近极限，可以帮助工程师判断继续优化是否值得。

陶哲轩说，弦论启发了几何学，同时提醒自己不是物理学家；将其作为自然模型的决定性实证确认仍未出现。

Cowen 觉得他的书流露出对几何的偏爱，但陶哲轩说分析对自己更自然。理解几何往往需要写下来并借助图像，这也让理解后的收获更令人满足。

谈到实分析为何发展得相对较晚，陶哲轩讨论了近似与极限。例如，把流体视为连续体可能比追踪每个粒子更简单。

零需要一次观念上的跨越，因为不存在的东西无法像实物那样指出。算术规则还引出了负数、分数和根式，它们不能像普通物体一样计数。

陶哲轩认为经济学有助于思考模型与现实。博弈论语言可以帮助理解数学论证，而比较优势帮助他决定如何分配自己的时间。

与经过充分检验的物理模型不同，经济模型可能在一些情境下预测得好，在另一些情境下失效。他说，使用模型也包括理解其假设何时不再成立。

陶哲轩认为 Black-Scholes 是具有特定假设的优美模型，并提醒在假设不成立的情况下使用它可能有风险。

谈到模拟论证，他说贝叶斯推理比较可能的模型，但可能遗漏没人想到的解释。想象力限制了候选假设，因此需要保持谦逊。

纽康问题说明，在特定博弈中，更多表面上的自由或计算有时反而会受到惩罚。两人讨论了可信承诺如何改变相关博弈中的激励。

谈到美国数学教育，陶哲轩强调自己对中小学的证据有限。小规模实验可能效果很好，但由于教师、制度和社区不同，扩大后未必有效。

随着数据密集型工作增长，他支持增加统计、概率和线性代数内容，但更看重数学作为低成本练习建模、处理未知和解决问题的场所。

陶哲轩说，有教师和制度支持时，可以为感兴趣的孩子提供进阶选择；但强迫所有学生参加可能让他们产生痛苦体验。

量化金融为数学家提供了学术界之外的工作机会，也可能改善定价和流动性。陶哲轩同时指出，错误的指标可能加剧不稳定。

陶哲轩认为数学正在从证明稀缺转向机器生成证明更丰富的时代。他预计研究者可能不再只围绕少数标志性问题，而会研究更大规模的问题集合。

他对新数学的可能性感到兴奋，也担忧转型速度和造成的冲击。他认为变化过快可能在技能和文化价值被认识到之前就将其破坏。

传统的人类论文伴随着一位受过训练的作者，能够解释结果、指导学生并形成合作。陶哲轩说，AI 可以把论文文件与这些人类能力和交流分离开来。

他预计论文会展示更多过程，研究也会转向可查询、互相关联的数据库，以及人类和 AI 参与的更大型合作项目。

讲解可能成为主要成果：互动报告允许听众提问并使用视觉辅助，这是静态论文难以做到的。陶哲轩认为，论文大量涌现时，人与人之间的解释更加重要。

对话转向个人兴趣。陶哲轩喜欢周星驰的《功夫》，也谈到音乐，并观察到轻易获得大量曲目有时反而会让人听得更少。

他的父母为他安排了特别的教育路径：数学和科学提前学习，其他科目与同龄人一起上；他在就读附近的 Flinders University 时仍住在家里。

他回忆自己曾因不愿学习 Fortran 或完成论文而挂科，并说在前往 Princeton 攻读研究生之前，小而有支持的环境很适合自己。

一次出乎意料的资格口试失败改变了他的习惯：他更加努力研究学科，也更重视解释自己所知道的内容。

陶哲轩说自己正在学习向年轻合作者和 AI 委派工作。给有动力的人责任可能带来他未曾想到的想法，委派也帮助他应对疲劳。

被问及 Collatz 猜想是否为真时，陶哲轩说自己相信它为真，但不知道如何证明。规则是奇数乘三加一、偶数除二，问题是每个正整数最终是否都会到达一。

大量算例和统计结果支持该猜想，但目前仍无法排除罕见的例外序列。陶哲轩怀疑即使有 AI，自己有生之年也未必能看到证明。