摘要
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Sawyer 解答上一期 Real Numbers 的挑战：将半径均为 5 厘米的半球和圆锥的体积设为相等，求得圆锥高度为 10 厘米。随后，他提出关于球体与圆锥交线以及移动冰的体积的新问题，留给观众解答。
- 1圆锥的约束条件圆锥的开口与半径为 5 厘米的球体赤道相吻合，体积与下半球相等。
- 2令体积相等半球的体积为 250π/3 立方厘米，圆锥的体积为 25πh/3 立方厘米，因此 h 为 10 厘米。
- 3新的形状改造挑战Sawyer 请观众求出交圆的半径，以及刨下并填入圆锥尖端的冰的体积。
要点建议
- 半径为 5 厘米的半球体积为 250π/3 立方厘米。
- 底面半径为 5 厘米、体积与该半球相等的圆锥，高为 10 厘米。
- 新挑战要求求出下方交圆的半径，并额外计算移动的冰的体积。
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01
上一期的刨冰圆锥问题
Sawyer 重述问题的要求：圆锥开口吻合半径为 5 厘米的球体赤道，体积与半球相等。圆锥的未知尺寸是高度。
Sawyer 介绍上一期 Real Numbers 挑战的延伸问题，并先解答上一期的问题。目标是设计一个圆锥形刨冰容器，使其开口吻合调味冰球的赤道，且容器的体积等于下半球的体积。
圆锥由底面半径和高度确定。球体半径为 5 厘米，因此与之吻合的圆锥开口半径也是 5 厘米。剩下的未知数是使两者体积相等的圆锥高度。
02
求解高度
利用半球和圆锥的体积公式，分别得到 250π/3 和 25πh/3。令两者相等，得到高度为 10 厘米。
半球体积是 4πr³/3 的一半；当 r = 5 厘米时，体积为 250π/3 立方厘米。圆锥体积为底面积乘以高度的三分之一，即 25πh/3 立方厘米。令两者相等，得到 h = 10 厘米，也就是原球体的直径。
03
新的交线挑战
Sawyer 询问如何以最少的移动量将下半球改造成圆锥。交圆半径和移动的冰的体积留给观众计算。
新的挑战是将下半球改造成半径为 5 厘米、高为 10 厘米的倒圆锥，同时尽可能少地移动冰。需要从球体超出圆锥的部分刨下冰，再填入球体下方的圆锥尖端。
球体与圆锥下方交圆的半径是多少？对于熟悉积分的读者，Sawyer 还提出一道附加题：需要移动的刨冰总体积是多少？这两个问题留给观众解答。
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