30 秒看懂
在 Real Numbers 第一集中，Sawyer 提出一个问题：照看一只贵宾犬时，如果它每晚独立地以 2/3 的概率叫醒看护者，那么至少有两晚睡眠不受打扰的概率是多少？他将谜题留给观众，并用硬币和骰子复习解决问题所需的概率规则。
- 1与 Fluffy 共度五晚Fluffy 每晚独立地以 2/3 的概率叫醒看护者。题目要求计算五晚中至少有两晚睡个整觉的概率。
- 2独立事件的概率相乘公平硬币出现正面且公平骰子掷出 1 的联合概率为 1/2 × 1/6 = 1/12。
- 3互斥事件的概率相加一次掷骰不可能同时得到 5 和 6，因此两者概率之和为 1/3。
- 4减去重叠部分掷出正面或骰子出现 1 的概率为 1/2 + 1/6 − 1/12 = 7/12。
- 5使用补事件同一概率也等于 1 减去出现反面且骰子不是 1 的概率，结果同样是 7/12。
要点建议
- 独立事件同时发生的概率可以将各自概率相乘。
- 互斥事件的概率可以相加。
- 对有重叠的事件，应减去一次交集以避免重复计算。
- 事件发生的概率等于 1 减去其补事件的概率。
- 看狗问题需要考虑五个夜晚各自独立的结果。
按章节阅读整理后的全文
看狗挑战
Sawyer 问五晚中至少有两晚睡个整觉的概率。狗每晚独立地以 2/3 的概率叫醒看护者。
欢迎来到 Real Numbers，这是一档通过分析和解决现实问题来探索数学的每周节目。我是 Sawyer。每一集都会提出一道本周问题；下一集我们会讨论不同的解法。
你的朋友要离开五晚，请你照看他的贵宾犬 Fluffy。等朋友远行后，你才知道 Fluffy 在三分之二的夜晚会叫醒你，要求出去散步。假设每晚的情况相互独立：五晚中你至少有两晚睡个整觉的概率是多少？提交答案时请展示解题过程。
本集接下来的内容复习概率，也就是研究随机或不确定事件的数学。它与统计学、组合数学和离散数学有关，为我们提供了一种对未知未来的问题建模的方法。
独立事件与互斥事件
公平硬币和骰子说明独立性与乘法规则。同一骰子的互斥结果则说明加法规则。
考虑一枚公平硬币和一颗公平骰子。正面和反面出现的概率各为 1/2；骰子六个数字中每个出现的概率都是 1/6。如果同时抛硬币和掷骰子，得到正面且掷出 1 的概率是多少？
这两个事件相互独立：得知其中一个结果，不会改变另一个的概率。例如，揭示硬币是反面不会改变骰子结果的分布。因此，我们将正面和掷出 1 的概率相乘：1/2 × 1/6 = 1/12。
现在来问下一次掷骰得到 5 或 6 的概率。这两个事件互斥：一次掷骰不可能同时得到两个数字。把它们的概率相加，得到 1/6 + 1/6 = 1/3。
重叠事件与补事件
维恩图解释了为什么必须减去交集。补事件提供了得到同一结果的另一种方法。
正面或掷出 1 的情况不同，因为两个事件可以同时发生。对于任意事件 A 和 B，P(A 或 B) = P(A) + P(B) − P(A 且 B)。维恩图说明了原因：将两个圆的概率相加，会把重叠区域计算两次，因此必须减去一次。
对于硬币和骰子，结果是 1/2 + 1/6 − 1/12 = 7/12。还可以使用补事件来计算：对于任意事件 A，P(非 A) = 1 − P(A)，因为 A 和非 A 中恰好有一个会发生。
“正面或掷出 1”的补事件是“反面且掷出的数字不是 1”。根据独立性，P(正面或 1) = 1 − (1/2 × 5/6) = 7/12，与第一种方法的结果一致。
试着解题
Sawyer 回到五晚的挑战，邀请观众展示解题过程。答案留待下一集讨论。
请仔细运用这些规则解决本周问题：如果 Fluffy 每晚独立地以 2/3 的概率叫醒你，那么五晚中至少有两晚不受打扰的概率是多少？祝你解题顺利，记得展示过程。我们下周会讨论一种解法。
同频道的其他文章
15:33EN → 简体中文
Jane Street· 2026年10月26日Figgie 策略：解读手牌、争夺多数与定价Bradley, Mike · Jane StreetJane Street 交易员 Bradley 和 Mike 分析三局游戏，展示私人信息、市场竞争和时机如何影响牌价。
1:48:29EN → 简体中文Jane Street· 2026年10月16日AI 如何改变编程：John Crepezzi 与 Ron Minsky 的对话Yaron Minsky, John Crepezzi · Jane StreetJane Street 的 AI 工具负责人和 Signals and Threads 主持人探讨智能体基础设施、安全、代码审查，以及软件开发体验的变化。
1:36:37EN → 简体中文Jane Street· 2026年9月23日Aaron Bauer：在 AI 时代教授软件工程Yaron Minsky, Aaron Bauer · Jane Street当模型能够生成代码时，学习目标、主动练习和编辑器设计如何影响工程教育。
1:05:45EN → 简体中文Jane Street· 2026年9月11日Cyrus Omar：实时编程与人与 AI 共享的计算公共空间Cyrus Omar通过 Hazel 演示，探讨即时反馈、结构化协作和精细权限如何帮助人类与 AI 智能体共同工作。
1:25:00EN → 简体中文Jane Street· 2026年9月2日Eric Mannes：如何将杂乱的外部数据用于交易研究Yaron Minsky, Eric Mannes · Jane Street从商品期货和 Excel 风险系统，到时点数据集和 AI，Eric Mannes 解释 Jane Street 数据工程背后的领域知识。
1:16:29EN → 简体中文Jane Street· 2026年8月26日Grant Sanderson 与 Alok Puranik：从群论看位置编码Grant Sanderson, Alok Puranik · 3Blue1Brown从注意力机制的假设出发，他们推导矩阵指数，并将旋转、衰减和 Jordan 块与 RoPE、ALiBi 联系起来。