横渡河流：玩具船谜题与刨冰圆锥的解法

Sawyer 介绍了一道渡河航行谜题，主角是一艘名叫 Wavey 的玩具船，名字是 Wave Equation 的缩写。河流两岸笔直平行，相距 100 米。水流在河面各处恒定，但流速未知。

船的马达也以未知的恒定速度沿船头方向推进。两个码头位于河流两岸、正对彼此。朋友从对岸出发，将 Wavey 的船头直接对准你的码头，但船到达你所在的河岸时，水流已将它带到下游 60 米处。

你取回 Wavey，带回自己的码头。应该把船头对准对岸的哪个位置，才能让马达和水流的合运动恰好把船送到朋友的码头？Sawyer 将这道新题留给观众解答。

回到渡河问题之前，Sawyer 先解答上一期的刨冰问题。圆锥的半径为 5 厘米、高为 10 厘米；刨冰半球的半径为 5 厘米。问题是求下方交点处的半径：在那里需要从半球两侧取出刨冰，移入圆锥尖部。

沿圆锥和球的轴线取竖直截面。半球的下表面变成圆的下半部分，圆锥的两侧形成 V 形。以球心为原点，右侧边缘是 (5, 0)，圆锥尖端是 (0, −10)。

圆锥右侧边是直线 y = 2x − 10，斜率为 10/5 = 2。圆的方程是 x² + y² = 25。交点同时满足两个方程，因此把直线代入圆方程，得到 25 = x² + (2x − 10)²。

化简得到 x² − 8x + 15 = 0，分解为 (x − 3)(x − 5) = 0。x = 5 是已知的边缘点；下方交点的 x = 3，所以所求半径为 3 厘米。

将 x = 3 代入直线方程得到 y = −4，所以下方交点是 (3, −4)。这两个长度与半径 5 一起构成一个 3–4–5 直角三角形。

附加题要求计算需要移动多少刨冰。圆柱壳法取半径 x，高度为圆锥直线与半球下表面 y = −√(25 − x²) 的竖直差值。从 x = 0 到 x = 3 对圆柱壳积分，得到 40π/3 立方厘米，约为 41.888 立方厘米。

作为验证，从半球外侧削去的刨冰体积必须相同。从 x = 3 到 x = 5 对圆柱壳积分，高度取圆锥直线减去半球下表面，同样得到 40π/3 立方厘米。

回到本期问题：已知试航时船头正对河岸，横渡 100 米并向下游漂移 60 米。挑战是选出对岸的瞄准点，让它抵消水流影响，使 Wavey 抵达正对面的码头。