几何是数学里的香菜

Lex Fridman 开场就问 Jordan Ellenberg，数学思维在一个乔姆斯基式的心智蛋糕里处于什么位置：语言是中间的巧克力内核，其余的认知是外面的糖霜。Ellenberg 是威斯康星大学的数学家，《How Not to Be Wrong》和刚出版的《Shape》的作者。他说，做数学的感觉有点像说话。很难想象能完全不借助语言去做这门学科，只靠命题而不靠口头表达来思考。Lex 则从另一条路径切入：去想象那些看上去跟语言并无明显关联的形状。

这个问题让 Ellenberg 想起了剖分证明，尤其是一个与 Bhaskara 相关的、著名的勾股定理视觉论证。你拿同样的几块图形，先拼成一种形状，再拼成另一种，由于它们由同样的部件组成，两个形状的面积必然相等。有一个存在争议的故事说，Bhaskara 的手稿上只有图，外加一个词：“看哪”。如果证明是一幅图，甚至是一段影片，展示碎片拼合成两种图形，那它算不算语言？Lex 认为，关键在于这种拼接：语言和数学都是过程，而不是一堆静止的符号。

Ellenberg 在《Shape》里写道，几何是数学里的香菜。人们并不中立。有些人，比如 Lex，觉得视觉证明是数学突然变得可以理解的那一刻，于是他们很想知道，学校里其余的课为什么不是那样教的。另一些人则来找 Ellenberg 抱怨：他们整天都能解方程求 x，却在几何里迷失了一年，始终不明白大家为什么要学它。大家都同意的一点是，几何在某种意义上不同于数学的其他部分。

Ellenberg 自己的转变发生在六七岁左右，他盯着一台 1970 年代的立体声音响柜看：一个深色木箱，上面有一个 6×8 的矩形排列的孔洞，用来把声音放出来。他眼睛来回聚焦，看到了六行八列，也看到了八行六列——还是同样的 48 个孔。他早就知道乘法口诀说 6×8 等于 8×6，却没有看出为什么。从成年人的角度看，那个矩形正是一个代数事实的几何理由，他开玩笑说，他或许注定要成为一名代数几何学家。九年级那些欧几里得式的练习，比如证明等腰三角形的两个底角相等，从来没有让他像那个音响柜那样有感觉。

Ellenberg 说，在日常英语里，说某样东西对称，通常是指它有一条对称轴：左右相符，上下相符，或者两者都相符。研究这些操作如何组合的抽象学问，就是群论，那是他大学里最早喜欢的学科之一。现代数学对这个词的用法宽泛得多。只要是定义良好、有输入和输出，并且可以重复或求逆的变换，无论作用于图像、空间还是物体，都可以算作一种对称。

在《Shape》里，他自己编了一个例子：把一个图形拉伸到两倍高，同时压缩到一半宽。按照传统的理解，这不是对称，因为它改变了物体的样子。由于语言里没有对应的词，他给这个变换起了一个傻乎乎的名字，叫“scrunch”（挤压）。然后他问，哪些图形在 scrunch 之下保持不变，就像有些图形在左右翻转之下保持不变一样。这种推广指向他所说的那个思想，它大约统治了当代数学 150 年：我们什么时候会认为两样东西是相同的？

这里有一个三角形，左边三英寸处还有一个一模一样的三角形，看上去是两个东西。但如果你证明了关于第一个三角形的一个定理，它几乎肯定对第二个也成立。这里的专业术语是全等；换一种说法，平移就是一种对称，而我们希望自己的理论具有平移不变性。如果把一个图形向左移动三英寸，定理就不再成立，那才是奇怪的结果。庞加莱是 Ellenberg 常常引用的一位金句制造者，他说过同样的意思：“数学是用同一个名字称呼不同事物的艺术。”

Lex 马上把这个问题映射到 MNIST 手写数字上：什么让每个“2”都是“2”，又是哪种变换能把“2”变成“3”？Ellenberg 说，数学家已经理解的对称群还不够用。如果一个 1 只是 Palatino 字体的 1 转了个角度，程序就能认出来。但区分 2 和 3 并不是这样。他会很惊讶，如果经典的对称表述能够捕捉这种差别；他认为我们所做的事情要复杂得多。Lex 补充说，变形过程本身也携带着信息：看着一个 2 逐渐变成 3，人们往往能指出它不再是 2 的那一帧，而中间状态的静止画面则可能被认作 7。

Ellenberg 说，这种对变换中的形状的关注，也是现代几何的一个洞见，它直接通向庞加莱和三体问题。两个在引力作用下的质点，是牛顿早已了解的一个干净的故事：它们要么沿椭圆轨道运动，这是稳定的情形；要么其中一个以双曲线掠过另一个，然后飞走。再加入第三个天体，情况就变得五花八门了。1880 年代，庞加莱因为取得了第一个真正的进展，赢得了瑞典国王设立的奖项，而 150 年后，这个问题依然是一个巨大的谜。他所认识到的，就是如今所说的混沌动力学：稳定解与不稳定解彼此缠绕，因此初始条件的一点微小变化，就可能让长期行为完全不同。

Ellenberg 本来并没有打算让庞加莱成为《Shape》的主角，但这个人总是不断出现。他在普法战争之后的 19 世纪末法国长大，当时法国决定，在数学上必须像德国那样强大——那是一个斯普特尼克时刻。Lex 把这种情绪和苏联联系起来，在那里，科学上的卓越仿佛是拯救世界的一种方式，而不只是把球投进篮筐。Ellenberg 向他推荐了 Amir Alexander 的《Duel at Dawn》，还有伽罗瓦——群论的浪漫发明者，他在二十出头时死于一场决斗，用现代的话说，他写过极其 emo 的信，倾诉自己心中燃烧的火焰。Ellenberg 说，数学是由人组成的，他们生活在自己时代的道德之内。在书里那些性格鲜明的人物中，庞加莱显得很不一样，他似乎是一个谦逊、正常的人，上午做四个小时数学，下午再做四个小时。

在庞加莱之前，几何大多是研究二维和三维物体的学问，也就是我们能看见的那些。要追踪三个天体，他需要更多维度。每个天体都有 x、y、z，还有速度，所以它的状态更适合被看作六维相空间中的一个点。他需要一种能适用于任意维数的几何，于是开创了他称为 analysis situs（位置分析）的学科——这个名字没有流传下来。今天它叫拓扑学。按 Ellenberg 的记忆，那篇论文的著名开头一句是：如今没有人怀疑，n 维空间的几何是一种真实存在的东西。

庞加莱从未远离物理，但物理把他推向了更高的维度，而让他能够在那里工作的形式体系，也包含一些非物理的对象。Ellenberg 说，你可以把这些部分当作垃圾，也可以采取数学家的态度：如果这个框架优美、好用，而且本身已经包含了物理，那么或许整个东西都值得研究。后来，相对论和时空让四维几何突然显得真实起来，而那套工具早已摆在那里。庞加莱猜想本身是关于弯曲三维空间的一个分类问题。Ellenberg 拿一只杯子作道具，解释单连通性：在杯子的碗壁上画一个环，可以把它收拢闭合；而绕着把手画的环则不行，除非划破表面。猜想说，没有这种有趣环路的三维空间，就是我们认为自己所处的那个标准空间。

Ellenberg 强调，拓扑学是一种内蕴理论：你无需离开杯子，就能回答关于杯子的问题。生活在一个圆周上，朝一个方向走得足够远就会回到家；生活在一条线段上，你会撞到世界的尽头。这些都是从世界内部得出的关于它的事实。至于你是生活在一个没有打结的圆上，还是生活在三维空间里漂浮的一个纽结上，那就不一样了。对居住其中的生物来说，两者都是圆；只有拥有三维视觉的生物才能看到纽结，而纽结说的是这个圆在周围空间中如何摆放。Lex 承认，他并不会因为不知道我们处在哪一种情况而睡不着觉。Ellenberg 也是一样。

莫比乌斯带就更棘手一些。Lex 最初的测试是：绕一圈，看看你的朋友回来时是不是被镜像了。但这个测试站不住脚，因为你可能认不出镜像后的朋友，甚至不知道你自己是否也翻转了。Ellenberg 说，更好的内蕴测试是：一个环路绕一圈不能收拢，绕两圈却可以，这是莫比乌斯带的特征，也是实射影平面的特征。随后 Lex 想知道，生活在球面内部的生物，是否能在每个方向上看到自己后脑勺。Ellenberg 不确定，因为“看见”这个词偷偷带进了光的物理。他注意到，小生物试图理解更大世界的比喻不断出现，而他对这个比喻最熟悉的来源，是 Edwin Abbott 的《平地》（Flatland）。

Abbott 这部由一个正方形叙述的喜剧小说里，一个小圆出现在正方形的家里，并且越长越大，对二维居民来说，这是一部恐怖片。来访者是一个穿过平面的球体。经过一番毫无结果的争论，球体把正方形拽了出来，于是整个世界突然从上方映入眼帘。Abbott 是一位牧师，所以其中的基督教寓意是，更高的存在把你从尘世中提升起来，让你看到真理。颠覆性的结局是，已经熟悉立方体的正方形，要求对自己的四维版本进行推理，而球体却愤怒了：没有第四维，只有三维，我看得见啊。Lex 说，我们无法把六维立方体形象化，但我们可以数它的角。看见与推理之间的这种分裂，正是关键所在。

宇宙是否拥有比我们所经历的多得多的维度——就像物理的统一理论不断攀升到十维或十一维那样？还是高维只是一种记账工具？Ellenberg 认为额外的维度是可能存在的。要弄清楚，唯一的办法是问它们会对我们能感知的事物产生什么影响。如果答案是没有任何影响，这个问题就会变得无法检验，因为你可以随意假设多少不可观测的实体。你无法像身为三维作者的 Abbott 能够在《平地》里随意折腾那样，从三维空间内部去干扰其他维度。

Ellenberg 最喜欢的课堂争论，是一根吸管有几个洞。问问全班，会出现一种喜剧效果：每个人都觉得答案显而易见，然后发现别人有另一种显而易见的答案，大家便激动起来。认为没有洞的人很少。他们说，吸管是把一张矩形塑料片卷起来做成的，那张片子原本没有洞，你也从没在上面戳过洞。Ellenberg 承认这套工程逻辑是自洽的，然后请他们说说，一个百吉饼是不是也没有洞，因为把一段面团圆柱的两端接起来，就能做出一个洞。他说，如果你真的坚持到底，那你是谁呢？

一洞派说，空间里只有一个贯穿始终的区域。两洞派说，顶端有一个洞，底端也有一个洞。一个常见的演示用的是水瓶：瓶口有一个洞；如果你再戳一个洞，让水流出来，它就成了吸管，那你怎么还能数它是一个洞呢？一洞派会反问：第一个洞在哪里结束，第二个洞又从哪里开始？Ellenberg 说，面对令人困惑的问题，数学有两种办法：把它变得更简单，比如当年为了讨论圆，他们把一个维度去掉；或者把它变得更难。他不再谈吸管，转而问起了裤子。

对于吸管的问题，大多数两洞派会说裤子有三个洞：腰口和两个裤腿。他女儿却说裤子有两个洞，因为腰口只不过是两个裤腿口粘在了一起。他认为，孩子的这个回答，抓住了同调论（homology）的一个核心：洞有一种算术，它们可以相加。“腰口等于裤腿加裤腿”是一个等式，但不是关于数字的等式。一位现代数学家会像一个绕开原问题的拉比那样说话：吸管有两个洞，而其中一个是另一个的负数。喝奶昔时，从一端流入的量等于从另一端流出的量；它们并不是互相独立的。穿过一条裤子，左裤腿的流入加上右裤腿的流入，等于腰口的流出。

庞加莱和 Betti 已经开始研究洞之间的关系。Ellenberg 说，真正现代的观点，即洞具有某种算术，是 Emmy Noether 提出的：她把这门学科放到了今天的基础之上。他承认，像《Shape》这样的书，无法在纸面上讲完一学期的代数拓扑。有些话题他只能点到为止；另一些他试图讲得细致一些，所以这本书不只是关于数学，书里也有一些数学，供读者亲手去摸一摸。

Lex 点名 3Blue1Brown 的 Grant Sanderson，说他是那种把这些想法真正放到纸面上、或者说放到屏幕上的人，而不是绕着它们谈。Ellenberg 认为，数学在 YouTube 上的繁荣是件好事，因为教学处在一条“投入程度与覆盖面”的曲线上。一位博士导师要花三到五年带一个学生；一间阶梯教室一学期能坐下三十人或五百人；一本书要花读书的时间才能触及更多的人；一个 YouTube 视频的销量，能超过任何一本不是卡戴珊或奥巴马写的精装书。Eugenia Cheng 在电视上得到的只有三十秒。曲线上的每一个点都重要，因为大脑有不同的挂钩。Sanderson 用 Python 作图，而要用这种方式把一个主题可视化，你必须真正理解它，并重新思考它。Ellenberg 说，学术数学界仍然没有完全想清楚，怎样把可视化，或者搭建计算基础设施，当作数学本身来评价，而不只是为证明定理提供的服务。布朗大学的计算与实验数学研究所，是一家由美国国家科学基金会（NSF）资助的机构，它曾专门办过一个以数学可视化为主题的学期，Ellenberg 把这看作学界认可的迹象。

然后 Lex 问，AI 系统有朝一日会不会赢得菲尔兹奖（Fields Medal），也就是数学界的诺贝尔奖。Ellenberg 说不会：这种拒绝本身就是他的验证码，证明他是人类。更严肃的回答是历史性的。计算机已经吃掉了过去被算作研究的那部分工作。1890 年的博士论文，可能是用一年时间，计算某个有限群作用下多项式环的不变量。今天，几行 Macaulay、Sage 或 Magma 的代码就能吐出答案——这些专门的计算机代数系统，和 Maple、Mathematica 是同一类东西——而我们已经不再把那叫作数学。这些工具并不证明定理，但它们如今已是大多数数学家工作过程的一部分。让 AI 证明有趣定理的尝试，效果并不好。他见过一个神经网络为一些猜想找到了反例，这很酷，但那些猜想并不出名，而且五个研究生也可能找到同样的例子。

最让他着迷的故事，是康威结，以及它是不是“slice”（可切片的），这是一个关于四维空间中三维曲面的技术性问题。几十年来，它难倒了拓扑学家，直到 Lisa Piccirillo 解决了它——当时她还是德州大学奥斯汀分校的研究生，现在在 MIT——她的论文只有九页，其中两页是图。那么，这个问题究竟是简单的，还是因为世界顶尖的人花了二十年也做不出来才显得困难？也许我们需要一个类别，来容纳那些看起来难、实际上并不难的问题。Lex 希望宇宙最终会有简单的规律。在接下来的一段对话里，Ellenberg 会不断反驳这种希望。

Lex 想谈费马大定理，那个看起来很简单的命题：当 $n$ 大于二时，$x^n + y^n = z^n$ 没有正整数解；还有那个证明太宽、写不进页边的浪漫故事。Ellenberg 给这份浪漫泼了冷水。他说，从历史上看，费马并没有证明。他后来证明过一些特殊情形，并且在信里谈论这个问题的方式，清楚地表明他不知道如何完成整个证明。他或许曾经有过一种深刻的直觉，但那已经失传了；我们能确定的是，后来他并不认为自己是在隐瞒一个完整的论证。用无穷递降法证明的特殊情形，是很可爱的本科生材料，但并不宏大。围绕这个问题的研究——Ellenberg 更喜欢叫它“费马问题”，因为它并不真的是费马的定理——才造就了我们今天所生活的这个数论世界的丰富性。

Andrew Wiles 与 Richard Taylor 最终证明了它，但失败与成功同样重要。十九世纪一个著名的错误证明，出自 Lamé，而 Kummer 在理解这个错误的过程中，发现了一些非凡的东西。唯一分解成素数的性质，感觉就像上帝的法则：12 是两个 2 乘以一个 3，绝不会有 5，也不会有四个 3。欧几里得基本上就知道，任何数都可以分解；其中的深刻之处在于，分解的方式只有一种。在比整数略为一般的数系里——这与费马问题相关——唯一分解会失效。如果你只爱简单，可能会称之为坏事。Ellenberg 却称之为好事。“我非常支持复杂化，”他说，因为每一个复杂之处，都是研究新现象的机会，而这些现象用旧的透镜是看不见的。

Wiles–Taylor 论证的核心是形变理论（deformation theory），Ellenberg 的导师 Barry Mazur 帮助创建了这门学科。费马问题中的对象——伽罗瓦表示和模形式，这些词他知道对听众没有什么帮助——可以作一点点的移动。如果你理解了一个对象能够朝哪些无穷小方向移动，就可能把这些拼合成所有可能移动所构成的整体全局空间。他们的论证表明，两个这样的全局空间是相同的，也就是传说中的“R = T”。不过，这里的“一点点”，并不是微积分里的距离。距离是《Shape》的一个主题，而距离并不是上帝赐予的。我们在英语里本来就用许多种距离：一个近亲未必住在隔壁。自然语言处理使用的一种语义距离，与字典顺序毫无关系。

数论里有一种更奇特的距离：2-adic 距离。两个数如果它们的差是 2 的一个大次幂的倍数，就被认为是接近的。于是 1 和 49 是接近的，因为它们的差是 48，是 16 的倍数；而 1 和 2 是远的，因为它们的差是 1，甚至不是 2 的倍数。更糟的是，1 和 1/64 的距离大得惊人，因为 1/64 是 2 的负六次幂。Lex 愣了一下，但很快找到了关键：这几乎像是把二进制倒过来写。在普通的二进制里，小数在小数点后会有许多个零；而在 2-adic 度量中，小的数则以许多个零结尾。Ellenberg 说，他本该用这个比喻的。在这种 2-adic 意义下，怀尔斯的形变是微小的。改变距离，你就能谈论那些普通的接近概念永远看不到的邻近变化，然后从局部过渡到全局。Lex 进一步推广：把两个人定义为彼此相爱就算接近，分析七十亿人，你可能会看到地理所隐藏的东西。他补充说，神经网络本质上就是在学习一种距离；如果用字典顺序，那将是一个糟糕的翻译器。

Ellenberg 说，目标不是一座有生产指标的定理工厂。他引用了 Bill Thurston 的文章《论证明与数学进展》：重点在于帮助人类理解，而新定理只是衡量标准，并非目的。Lex 引用了一句常被归于费曼名下的话：如果你不能把一件事说得简单，你就没有真正理解它。这话对吗？Ellenberg 说：“完全不对。”然后他承认其中有一个深刻的片段：学习如何解释一件事，确实有助于理解它。真实的事物并不简单；有些是简单的，大多数并不简单。他怀疑费曼是否真的相信这句口号，即使他喜欢说这句话时的感觉。Lex 观察到，物理学家常常乐于相信世界可以被简单地解释，即便那种解释只是一首关于复杂事物的诗，算不上提炼出的结论。Ellenberg 同意，没有哪个诗人会把诗称作解释；他们可能会称之为描述。

Paul Erdős 谈到“The Book”，那里是上帝保存每条定理的正确证明的地方，他称赞某个优美的论证出自“The Book”——同时还称上帝为“至高无上的法西斯”。Hilda Hudson 参与发展了今天 SIR 模型背后的传染病模型，她是虔诚的信徒，她说，数学真理不是上帝思想中最重要的部分，但却是我们唯一能够精确认识的部分。庞加莱则更冷静：如果一位神圣的存在降临，用神的语言告诉我们宇宙，我们也听不懂，所以这并不重要。我们的工作是那些不是非人复杂的部分。Lex 指出，人类历史上那些仇恨的季节，往往靠极其简单的故事来推动。简单就像幸福一样令人愉快，却同样是检验真理时不可靠的标准。

Ellenberg 说，素数是整数的原子：一直分解，直到无法再分，剩下的就是素数。1 目前不被视为素数，这是定义上的选择，而不是对真理的发现。Grothendieck 有一次需要一个素数的例子，他说了 57，而 57 是 3×19，这个笑话在一些圈子里至今流传；91 看上去像素数，其实是 7×13。费马小定理给出一个单向的检验：把 2 的 n 次方除以 n，如果余数不是 2，那么 n 肯定不是素数。如果余数是 2，n 很可能是素数，但不能确定。能骗过这个检验的最小伪素数是 341。欧几里得早就知道素数有无穷多个。随着数字变大，素数会越来越稀少：前十个数中有四个是素数，即 40%，这在十位数里就不会再出现了。

孪生素数是相差 2 的一对素数，比如 3 和 5，11 和 13。它们是否有无穷多对，至今未知。人们听到这个猜想，往往以为数学家相信背后有某种深层结构，把素数拉到一起。Ellenberg 说恰恰相反。相信孪生素数猜想，就是相信素数散布得相当随机；如果真是这样，机会就会给出无穷多对孪生素数，而“我们期望它们的行为，就像它们是随机土块时那样”。素数的性质是确定的。假装它们来自一个随机过程，仍然极其有用：首先，它是猜测什么可能为真的一种方式，这样你就不会花上好几年去证明一个假命题。在一次假想的争论中，对方像 Sam Harris 那样的决定论者，Ellenberg 乐于让对方坚持他的形而上学，而他自己则从这种假装中提取洞见。把人当作有欲望的存在来对待，即使这不是深层的真相，也能让你更好地理解他们。Lex 发现，在机器人学里，同样的拟人化也很有用，那个领域对给机器起名字、赋予性别很反感。

对 Ellenberg 来说，John Conway（康威）是二十世纪的数学家之一，他的个性和他的工作缠绕在一起。局外人有时以为，数学是一种与人的个性分开的冷冰冰的活动。其实不是：你的个性就在里面，就像它也在一部小说、一幅画里，或者在你走路的方式里一样。康威把一切都当作游戏，发明了一些名字古怪的游戏，然后用数学去分析它们，后来他与 Donald Knuth 合作研究超实数（surreal numbers），这是一个每个数都是一个双人游戏的体系。贝克莱主教称无穷小为“逝去量的幽灵”，它们让人们对牛顿的微积分感到不安，如今却作为游戏而非幽灵，住在那个体系里。Ellenberg 在普林斯顿做博士后时，会在公共休息室里找到康威，提一个问题，然后得到一场丰富的导览，而导览的内容通常与那个问题毫无关系。打开他的开关，就像拧一个旋钮。

生命游戏（Game of Life）是 1970 年代发展起来的，它不是与对手对弈的游戏。你在方格纸上标出方块——康威确实是用笔这样做的——然后一条只有一行的规则，根据八个邻居决定每个方格的诞生与死亡。从一个小而无害的初始布局出发，会产生令人惊叹的丰富性：能移动的滑翔机（glider），能发射滑翔机的滑翔机枪（glider gun），以及借用生物学语言相互作用的各种“物种”。Ellenberg 推荐 Golly 这款应用，它运行康威的规则和数百种变体，速度比肉眼还快。对于那些认为丰富结构不可能来自简单规律的人，这是一个显而易见的反驳。但他着重强调的，是一个不太被宣传的事实：随便选一条规则，你得到的只是无聊的东西。典型的规则集不会产生有趣的行为。只有少数会，而我们没有清楚的办法事先判断是哪些。

Stephen Wolfram 沿着那条达尔文式的道路走得最远，用上千页的篇幅摆弄简单规则。Ellenberg 认为，如果把自我放在一边，他的工作相当出色，尽管 Wolfram 处于数学界与物理学界的边缘。Rule 30 挑战——预测一维元胞自动机中间一列的值——至今仍无解。Wolfram 谈论不可约性；Ellenberg 认为那更像是诗，而不是定理。康威自己对生命游戏的态度也很矛盾。外界正是因为它才认识他，而当他已经证明了更深刻的定理、发明了超实数，却只被人称为“生命游戏那个人”，这让他有些难过。他恰恰是你最不想把他的成就归结为一项的那种人。

群论作为一个主题再次出现，Ellenberg 认为，群论一开始就是对称的一般理论。一个人有两种对称：翻转，或者什么都不做。一个长方形有四种：什么都不做，左右翻转，上下翻转，或者两者都做。一个正方形有八种，因为旋转 90 度之后看上去仍然是同一个正方形，而长方形不允许这样。真正的观察在于，这些操作可以组合：先做一个，再做另一个，结果就是第三个。群就是在这种组合下封闭的一组变换。洗牌也属于同一个世界：每一种排列都是原始排列的一种对称，数量远远超过八种，而先洗一次再洗一次，仍然是一次洗牌。直线的对称已经是无穷多的：关于任何一点做反射，或者平移任意距离。

Lex 问起规范对称性，也就是物理学家一再提到的那个东西。Ellenberg 不是数学物理学家，但他给出了一个大致轮廓。物理学总是在追问，世界的对称群是什么。如果引力在这里成立，它在那里也应该成立，所以平移应当是物理定律的一种对称。讲爱因斯坦的故事，有一种方式就是：我们改变了对这个群的看法。在旧的参考系里，洛伦兹收缩是一个物体在接近光速时改变了形状。在新的参考系里，它从未改变形状；我们错在了对什么算作对称的判断上。一旦有了洛伦兹群，那种形变就成了一种错觉。Lex 仍然想要一个最小的、可以编程实现的例子，Ellenberg 说，这种寻找正是他们训练学生的方式。

庞加莱猜想的证明，由 Grigori Perelman 完成，它继承了包括 Richard Hamilton 在内的许多人的传统，是 Ellenberg 最喜欢的“上升一个层次”的例子。你以为自己在研究一个三维空间。但你真正需要的几何，是所有三维几何构成的空间的几何。里奇流（Ricci flow）让一个神秘的空间沿着那个更高维空间中的一条路径移动；论证的关键在于，它总会流向标准的三维空间，中间没有急剧的跳变，因此它一直都是那个标准空间。最难的分析步骤是证明不存在奇点，也就是没有突然的扭折。和怀尔斯的情形一样，这块关键的拱顶石安放在别人搭起的拱门上：Kummer、Gerhard Frey、Mazur、Ken Ribet。Ellenberg 说，只有当你被从《平地》里拽出来，能够同时看到整个几何空间时，你才能清楚地看见那一个对象。

Perelman 拒绝了菲尔兹奖。Ellenberg 说，从某种广阔的精神意义上看，奖项的重要性远不及理解宇宙；另一方面，大多数获得这个奖的人都会接受，所以他的选择很不寻常。Peter Scholze 也拒绝过一笔高额奖金，或许因为它传递了错误的信息，让人以为数学是为了什么。Lex 把这件事当作一个提醒：大多数人生中都会有一个时刻，社会想要一样东西，而某种原则却要另一样东西，站在那里，就是一种操守，无论别人是否能理解。他不确定 Perelman 的理由，Ellenberg 也不假装知道。Ellenberg 又说，国际数学奥林匹克在另一个方面也背离了研究：题目是预先设计好、答案已知的现成题，而且按速度评分。金牌授予的是前十二分之一的选手，而不是某一个唯一的赢家。他第一次参加 IMO 是在 1987 年的哈瓦那，那是一场冷战时期的产物；美国代表队被带去参观了“美帝国主义博物馆”。

年轻人，或者想重新拾起数学的成年人，该怎么学？Ellenberg 不会给出唯一的答案，因为这件事是一段自我认知的旅程，适合的方法因人而异。有些人无论年龄多大，直接开始读教科书就行。对另一些人来说，入门的门票是 Martin Gardner 几十年来在《科学美国人》上写的“Mathematical Recreations”专栏，这些文章后来结集成书，每一代新读者都能读到新鲜感，也体现了康威那种玩耍的精神。竞赛题，尤其是俄罗斯和保加利亚的题集，激励了一些人；制作精良的视频则激励了另一些人。老实讲，你得自己找到那个能打动你的东西。

然后他讲了一个研究生时代的故事。像每个读博士的人一样，他被自己的无知压得喘不过气，于是他跟系里的代数几何学家 Joe Harris 说，他想请一年假，把 Alexander Grothendieck 和 Jean Dieudonné 那部 1500 页的《代数几何原理》（Éléments de géométrie algébrique，即 EGA）从头到尾读完。Harris 说那是一个非常愚蠢的主意。这与书的好坏无关，关键在于 Ellenberg 其实不会真的去读。他会在需要某个事实、用它来解决一个他本来就想解决的问题时，才从 EGA 里学到那个事实。没有一个问题把他拉进去，他就不会读。

Ellenberg 由此往外引申：数学难学，凡是做得对的事，也都不轻松。难学的东西，如果你本来不在乎，别人要你学的那些抽象内容多半留不住。解决办法是把它和手头的某个具体难题绑在一起，比如一道工程计算、一个物理现象，或者一项机器学习任务。推动学习的应当是这个问题本身，而不是对教学大纲的想象。Lex 把这种挫败感比作跑步：跑的时候讨厌，跑完了却爱上它。你手里拿着不完整的图景、糟糕的符号、缺失的片段，但还得继续往前走。Ellenberg 更正了“享受”这个词。他并不享受死胡同；死胡同让他火大。你必须把它们当作过程的一部分来接受。Lex 引用 David Goggins 的一句话：如果你不在大多数人会放弃的地方放弃，你也许能看到别人永远到不了的风景。Ellenberg 则问起 Nathan's 热狗大赛的冠军在吃到第 35 个热狗时的情形，并正确地指出，大多数人会在那里停下。他们一致认为，这句口号没有标准答案。

对 Ellenberg 来说，给年轻人的建议并不是一个思想实验；他有两个孩子，尽管他们不一定听。他说，处在人生抉择点上的学生，常常被自我怀疑所困扰，不确定自己能做什么，也不确定自己真正想要什么。选项之一通常就是那个高自尊的选择。把你自己从局面中抽离出来，想一想完全自信的你会怎么做，然后就去做，再看会发生什么。他绝不会劝人消除怀疑。人大概本来就应该有怀疑。但有时候，像那个没有怀疑的人那样去行动，仍然是对的。他还没有把这话告诉自己的孩子。Lex 告诉他，他应该说。

数学能触及人生的意义吗？Ellenberg 在《How Not to Be Wrong》里写过帕斯卡。人们把帕斯卡的赌注当作一个证明，证明你应该相信上帝。Ellenberg 读帕斯卡时，发现几乎恰恰相反。你问帕斯卡为什么相信，他会说，他遇见了上帝：那是一种神秘体验，而不是计算。数学关心的是：一旦你已经不得不下注，你为什么要以某种方式行事。数学本来就是学习机器和物理学的基础。“你有数学，你有探索心智的方法，你有令人难以置信的技术，你还有爱和友谊，你到底还想知道这一切的意义是什么？享受它就好了。”

对话在《Shape》开篇的那幅混沌图上结束。那是 Ellenberg 在写作时试图装在脑子里的一切，直到最后才画出来。当天的许多话题都在图上；它们之间的联系仍在被一一剖析。上帝也在图中，但在边缘，不在中心。Lex 引用《How Not to Be Wrong》里的一句话作结：懂数学，就像戴上一副 X 光眼镜，能看穿世界杂乱表面之下隐藏的结构。