精彩的证明，仍藏在页边的空白里

Lex Fridman 开场时提到 Luís Batalha 在 Twitter 上抛出的一个想法：如果大多数论文都像摘要一样，附带一段“背景故事”，会怎样？Luís 认为，了解作者是如何走到这个问题上的，能为研究提供孤立的 PDF 永远无法给出的语境。人们仍然抱着一种浪漫的图景，以为科学是一连串灵光一现的时刻，比如连续写出两篇论文。但仔细看，这些论文其实是一个乱得多的故事中的几个章节。

Luís 反复提到的例子是 Richard Feynman 的量子电动力学论文。写这篇论文之前，Feynman 在康奈尔经历了一段低谷，对物理的热情已经消失。在食堂里，他看到有人把盘子抛向空中，同时注意到两种运动：盘子在晃动，盘面上的康奈尔校徽也在旋转。他把这两种运动的方程写了下来，这把他引向了相对论中的电子轨道，最终形成了那篇让他获得诺贝尔奖的 QED 论文。一个餐厅里的盘子，重新启动了一位科学家的职业生涯。而读者看到的，只有论文本身。

费马图书馆后来组织过一场关于 Ian Goodfellow GAN 论文的 AMA，Goodfellow 当场回答问题，并讲述了那个在酒吧里产生的起源故事。João Batalha 又提到 Edsger Dijkstra：他在阿姆斯特丹一个咖啡馆的露台上，大约二十分钟就发明了最短路径算法，既没有笔也没有纸，全部都装在脑子里。João 说，正是这种限制，让这个算法如此简洁：人的头脑只能承载这么多复杂性。Cédric Villani 讲述自己从研究生成长为菲尔兹奖得主的回忆录，在 João 看来，主要是一连串咖啡桌旁的偶然对话。背景故事让结果更容易被记住，而容易记住的知识，才是真正留得住的知识。

Lex 想知道，这种飞跃究竟有多少是一个晚上就能完成的，又有多少是像 Andrew Wiles 那样的苦功。他认为，Goodfellow 对此多少带着一丝感伤：在 GAN 的早期，一个人可以在一台机器上，一夜之间从想法做到实验；而如今，很多突破都需要大规模的运行。João 查了 arXiv 上标注为机器学习的论文，发现其中大约一半是在过去十二个月里发布的。在仍在爆发式增长的领域，唾手可得的果实到处都是。而在数学这样成熟的领域，那种在餐巾纸上一挥而就的时刻，就越来越少了。

他们都同意，苹果的故事很可能是后人的发明。史料确实记录了一个牛顿，他花了多年时间研究炼金术，认真对待它，写过相关文字，还为了寻找预言而钻研圣经注释。Luís 说，儿童版的故事会删掉这些章节，但它们本是这个人的一部分，没有它们，谁知道他还会做出什么。Lex 为炼金术做了辩护：它代表着对不可能之事的梦想。人类飞行在过去也曾被视作这样。一旦知道原子里有质子，制造黄金在概念上就只是多加一个质子，只不过成本荒唐得可以。站在牛顿所处的那个世纪，炼金术也许并不比后来成真的那些想法更疯狂。

对 Luís 影响最大的科学家是 Freeman Dyson。费马图书馆曾请他为一篇论文做批注，Dyson 的第一反应是，他的知识非常有限，只懂一些特定领域的几件事，也不确定自己是否有资格。而这个人，在 Luís 看来，本该拿到诺贝尔奖，他的工作涵盖量子电动力学、反应堆设计，以及对其他文明的探索。在后来的批注中，Dyson 说他不是来回答问题的，而只是来打开更多问题的。Luís 说，这种谦逊给他留下了很深的印象。

在 Dyson 生日那天，他已经九十岁，或许九十二岁了，却仍然深深沉迷于数论。Luís 把一张照片变成了一个巨大的素数。较暗的区域变成了 8，较亮的区域变成了 1；廉价的素性测试先筛掉了合数，然后一次完整的测试完成了收尾。Dyson 回信问他是怎么做到的，好奇心依旧。Lex 在 Daniel Kahneman 身上也看到过同样的火焰：那种孩子般的不肯相信世界已经被理解透彻的态度，即使获得了奖项，依然燃烧。他说，这种态度是真正的对话、合作或科学提问的第一步。

费马图书馆本质上是一个论文批注平台。João 说，学术 PDF 是流传中最密集的文档之一，往往很难读懂。界面是浏览器里的 PDF，两侧都有笔记；点击其中一条，就会打开侧边栏，可以使用 LaTeX 和 Markdown。批注者可以补上作者视为理所当然的一步，也可以加上新手永远想不到的背景。随着时间推移，论文会变得更容易理解，而原文本身无需改写。这个平台最初是 João 与其他几位朋友之间的一个期刊俱乐部：João 学计算机，Luís 学物理，他们读论文，然后彼此讲解，翻译内置于其中。后来他们想把这种习惯搬到网上。

这个名字来自费马大定理（Fermat's Last Theorem）。Pierre de Fermat 是一位业余研究数学的律师。在一卷丢番图著作的页边，他写道自己有一个精彩的证明：当 n 大于 2 时，不存在正整数 a、b、c 满足 a^n + b^n = c^n；但页边太小，写不下这个证明。这个命题悬而未决了将近三百年，直到 Andrew Wiles 在 20 世纪 90 年代发表了证明，Luís 回忆说，那篇证明几乎有三百页。这个轶事恰恰是他们产品的论点：大量知识被困在页边，只要有人愿意坐下来，就能释放出潜在的能量。期刊又把突破性成果压缩进页数限制里，因此论文并不是为清晰而优化的。缺失的解释，正可以安放在页边。

围绕这个网站，他们做了三样东西。Journal Club 是公开的门面：每周都会有一篇经过批注的论文，来自物理、计算机科学或数学。Margins 是同一套软件，免费提供，大学用它来运营自己的俱乐部。Librarian 是一个覆盖在 arXiv 上的浏览器扩展，评论、参考文献提取和 BibTeX 导出都可以在预印本页面内完成，无需离开。Lex 对 Librarian 的反应是：既然这么多人都在 arXiv 上生活，为什么它还没有无处不在？João 的担忧是，arXiv 二十年来的增长几乎是一条直线。如果把它当作创业公司，加上增长黑客手段和付费功能，你可能会毁掉让它长久存在的东西。有些科学工具就是需要时间。arXiv 当时刚满三十岁。

arXiv 始于数学和物理，三十年间计算机科学超过了它们。João 说，对于一些数学论文，从你在期刊网站上点击上传，到文章在网上可见，等待时间可能接近三年，也许是互联网上最长的上传等待，而在这段时间里，成果是被锁住的。这就是预印本的意义所在。Perelman 关于庞加莱猜想的三篇论文，就是发布在 arXiv 上，而不是期刊上。在机器学习领域，发展速度太快，人们会在预印本的基础上继续研究，根本不等期刊，这又带来了第二个问题：所有人都默认预印本是对的。arXiv 托管 PDF 做得很好。João 希望在它之上再加一层：评论、批注、代码，以及某种方式，让人能分辨出认真的工作和仓促的堆砌。

生物学的历史更为严酷。20 世纪 60 年代，美国国立卫生研究院（NIH）资助了一个“信息交换小组”，让生物学家可以通过邮件和图书馆分享预印本。六年之后，这个项目在期刊的压力下被取消，那些期刊担心竞争。João 指出，Francis Crick 就是反对它的著名科学家之一。几十年过去，生物学论文中只有大约百分之二是先以预印本形式出现的。一次成功的扼杀，让一场革命推迟了半个世纪。bioRxiv 正在再次尝试，但这个领域的习惯已经被改写，要追赶需要时间。照这种说法，科学的组织方式并不是自然演化的结果，它仍然带着一个为守住大门而战斗的行业留下的痕迹。

Lex 把今天的开放科学工具比作 Craigslist：庆幸它们存在，却又为它们落后十年而感到沮丧。与之形成对照的是维基百科，它同样简单，却居然运作得很好。Luís 把维基百科称为互联网的宇宙常数：我们很幸运，生活在一个存在它的平行宇宙里。二十年前，如果有人提出一部可以公开编辑的百科全书，几乎没有人会押注它会成为可靠的信息来源；它就像一份谁都能编辑的谷歌文档，却成了数十万个主题的权威。他说，有一位用户编辑了三分之一的条目。Stack Overflow 是另一个奇迹：少数痴迷的贡献者创造了巨大的价值，自己却几乎得不到什么回报。Lex 认为，如果你想让 arXiv 或开放评审在这种规模上运作，就应该为那位能回答成千上万个问题的 10 倍贡献者来设计，而不是对所有人一视同仁。

Fields Medal 得主 Tim Gowers 发起了 Polymath 项目，用来检验数学能否通过互联网变成大规模协作。João 说，对于那些可以拆分成小块、逐步推进的问题，它是可以做到的。总得有人扮演维护者的角色：时不时地整理一下房间，重新表述问题，然后再让大家抛出更多想法。这份不起眼的工作，正是一条讨论串和一份证明之间的区别。

Luís 说，把视野拉远，出版的循环看起来很荒诞。靠政府拨款的科学家免费把论文交给期刊。其他科学家免费审稿。然后，由政府支持的大学再把论文买回来，好让研究人员阅读。政府为研究、薪水、审稿和成果付了两次钱。这个均衡很难打破，因为学术生涯正是靠它运转的。成百上千的博士生追逐一个教职，而通往教职的路径就是在高影响因子的刊物上发表论文；在计算机科学里，往往则是知名的会议。影响因子，即一篇论文在该期刊上平均能获得的引用数，用 Luís 的话说，是一种贵族头衔：论文在被任何人阅读之前，就已经带着影响力诞生了。研究人员优化的是录用，而不是这项工作十年后是否仍有意义。院长们会聘用在这些期刊上发表论文的人，因为排名和学费都随之而来。Mario Biagioli 的《Gaming the Metrics》是 Luís 推荐的书，讲的是数字如何开始吞噬科学本身。

引文索引最初只是一种描述。Eugene Garfield 想要的是一幅影响力地图，即论文之间的联系，而不是一块记分牌。Larry Page 和 Sergey Brin 承认，这项工作对 PageRank 有过启发。一旦开始计算链接，就会形成一个市场，于是科学界也出现了它的搜索引擎优化产业。Luís 说，影响因子的分布，其实是两个经济体：《Nature》在四十出头，《Science》在三十多，中间是一批十到三十之间的强势期刊，而在二以下则是一条巨大的尾巴。在这条尾巴上，那些不太知名的大学，其中很多在全球南方，催促教师随便哪里都要发表论文。在顶级的那一端，《Nature》不可能只靠科学家的注意力维持四十多的影响因子，它的文章必须达到《纽约时报》的水准，这就把标题和摘要推到了数据所能支撑的程度之外。Lex 问，病根是指标本身，还是糟糕的指标。亚马逊的电脑配件评论之所以有效，是因为有成千上万的人参与。而同行评议只有五六个、七个人，往往还更少，而且是匿名的，做得好也没有任何回报。新冠期间，他看到具备基本数据分析能力的人，能发现一个薄弱的步骤或一条遗漏的引用。João 承认这里存在一个“海森堡问题”：一旦选定某个指标，人们就会开始钻它的空子。你可以设计出更有韧性的指标，但它们依然会衰退。

覆盖型期刊（overlay journal）试图去掉中间人。Luís 说，它们本质上是一些指向已经发布在 arXiv 或 bioRxiv 上的论文的链接集合，审稿过程更透明，大学也无需支付订阅费用。Discrete Analysis 在数学领域这样做；Quantum 在量子信息领域这样做，而费马图书馆与 Quantum 合作，让这些论文可以进行批注。最难的是形成临界规模。年轻研究人员仍然需要影响因子。变通的办法是，让有终身教职的人，比如点名的 Gowers，先在这些刊物上发表论文，借出刊物的声誉，让下一批人可以放心去冒险。Lex 的说法更直接：应该把需要付费墙的期刊视为不合法的。大部分工作都是公共资金支持的，劳动是无偿的，而大多数人读不到结果。2020 年，一些期刊曾为新冠论文撤掉了付费墙，在他看来，这恰恰证明那堵墙本就不该存在。

Luís 认为，期刊的商业模式已经越过了事件视界：一个增值越来越少的中间层。欧盟资助的论文被要求开放获取；盖茨基金会也提出了类似要求。资助方已经注意到，自己其实付了两次钱。Lex 的比较很尖锐：打开 Spotify，即使是免费版，你几乎都能听到录制过的任何歌曲，但大量学术论文仍然处于关闭状态。他看过一项分析，称七成以上的论文都在付费墙之后，而这些论文是由公众资助的。音乐版权的问题更难，但它已经解决了。科学没有。

Lex 逐渐认为，如果想让科学动起来，就应该把论文和视频结合在一起。João 把《Nature》的创刊号和今天的一篇论文放在一起，看到的是同一种东西：一个静态的 PDF，代码被塞进排版元素里，数据和过程则留在外面。在他看来，2.0 版的论文必须容纳代码、数据集，以及某些想法所需要的动态画面。他们甚至做了一个小实验，把一个结果发布成三四条推文。Lex 喜欢正式论文的约束，它迫使你收窄论断，并把它放在别人能够引用的地方，但他不认为期刊文章应该是唯一合法的知识单位。博客文章、推文串或一场被仔细录制下来的论证，都可以成为合法的知识单位，只要有人愿意为它提供稳定的引用地址。

João 给出的第一条建议是心理层面的。论文并不是为了好懂而写的：篇幅限制、格式规范，以及这个领域的行话，都会把文字压缩得很紧。如果你读得很吃力，那未必是材料比你难。费马图书馆经常批注远远超出两兄弟舒适区的作品，所以他们必须时刻记得这一点。Feynman 有一个窍门：先读结论，然后花几分钟尝试自己推出结论，再去看作者的路径。Fermi 以同样的精神闻名，就是他著名的“背面信封”估算。

João 说，真实的体验比缓慢爬坡还要糟糕。你打开一篇论文，几乎看不懂什么，于是跳到一条引用，再跳到那篇论文的引用，二十个标签页同时开着，理解程度始终停在接近零。然后，在某个时刻，它会连接起来。他称之为一次量子跃迁：理解不是线性的。你必须信任一个看起来像是在迷路的过程。很多人在跃迁发生之前就放弃了。

Lex 的方法是广度优先。先读结论，再读相关工作部分，然后读它所引用的论文的结论和相关工作，沿着这棵树一路向下，直到碰上死胡同，或者咖啡喝完。往回走的时候，你就能把原始结果放回它应在的位置。如果这篇论文确实具有革命性，正是这样的漫游让你看清它的意义。他说，相关工作部分通常最少带有立场。引言是在推销，方法部分是在证明优越性。相关工作则是地图：这个领域从哪里来，卡在哪里，谁拒绝引用谁。它也常常是论文中最接近维基百科的部分，因此也最容易读。

关于笔记，Luís 的原则是：不要低估六个月之内你会忘掉多少。他会打开自己在费马图书馆上批注过的一篇论文，读自己的评论，却认不出来。他说，在你刚刚理解了某件事之后，你就是那个未来会忘记它的自己的最好老师。你刚刚从一走到十，知道哪一步最难、哪个类比有帮助、哪个符号你曾经看错。教科书没有这些信息，只有你知道。

Lex 发现，文字笔记常常让他失望：他盯着一行字，却再也想不起当时的思路；而一段简短的语音吐槽，能把当时的场景，包括那份困惑，重新带回来。视频或许更有力。他认为，为昨天的专家自己与明天已经忘记的自己之间的对话，设计的工具仍然远远不够。João 补充说，把它说出口本身就有帮助：要让它变得可以理解，你就得重组思路，而这种重组本身就是理解。

他们还没见过多少人在 Journal Club 的批注之上制作视频，不过他们曾尝试做过一档播客，在半小时内讲清一篇论文，有时还会请作者参加。Lex 提到 Machine Learning Street Talk，那是几小时的详细解读，有时作者也在场；还提到 comma.ai 的 George Hotz，他花了十个小时现场编写一篇论文的代码。人们看的是挣扎的过程，而不是打磨后的结果，Lex 说，这也是人们收听播客的原因。他说，一个修复古画的 YouTube 频道，安静地修复旧画作，也用同样的方式吸引了他。领域并不是关键。卓越是会传染的，而 Twitch 也证明，有人愿意看一个高手在难题里沉浸的过程。

João 喜欢的几篇批注论文中，有一篇是数学家 Tom Apostol 写的，主题是萨摩斯岛上的一条隧道。萨摩斯是土耳其海岸外的一个希腊岛屿。公元前六世纪，城市位于山的一侧，泉水却在另一侧。修建渡槽是个糟糕的主意：地形不对，而且在围城时，敌人可以把它破坏，让城市断水。于是他们从两端同时开挖，计划在中间相会，这是一个以当时数学工具来看很难的测量问题。大约两千年间，公认的说法与 Hero of Alexandria 有关：一个直角三角形的斜边连接两个洞口，在山外沿着网格绕行，再在每个入口处按比例缩小，使箭头彼此指向对方。在纸面上，这看起来非常完美。

真正去过那座山的研究者发现，这种方法是致命的。测量误差会不断累积，施工队最终会相差好几米而错过对方。João 更倾向的合理替代方案，更像是步枪上的准星：三根棍子对齐，沿山坡拉出一条水平线，直到可以从中间凿通。一位没有考古背景的数学家重建了这一过程。João 在一条批注中指出，罗马衰亡之后，人们大约一千年间都没有再修建这样的隧道。在费马图书馆上，这一页不断增加仪器、后来的研究，以及那段历史空白作为评论。他们从用户那里听说，危险在于，一套漂亮的笔记可能看起来已经完成，后来的读者会不敢加上一个蠢问题。Lex 的回答是，要在公开场合继续问蠢问题。他说，这是通往知识的唯一途径。

网站上的一些论文只有一页，甚至更短，包括他们所说的数学期刊上有史以来最短的论文，只有几个词。Luís 最喜欢的一篇，是 Enrico Fermi 的机密单页报告《My Observations at Trinity》。在距离第一次原子爆炸只有几英里的地方，Fermi 把一张纸撕成碎片，等待爆炸，然后把纸屑抛向空中，根据它们被吹出的距离估算爆炸当量。他大概有百分之二十到二十五的误差；后来根据火球膨胀所做的研究做得更好。当一段贝鲁特新娘的视频流传开来，冲击波掀起了她的裙子，João 用了同样的方法：根据她身后商店招牌的距离，以及布料的摆动，估算出爆炸当量，新闻媒体也顺着这条线索报道。Luís 说，费米问题是一种风格：一页纸，整个论证都摆在明处。

费马图书馆上最先放上去的一篇论文，是比特币白皮书。João 曾经花了几周时间去拆解它，尽管他有计算机密码学的本科背景。文字精简到他觉得，你几乎无法拿掉一个词，否则其余部分就会塌掉。批注会带着本科生了解公钥密码学、哈希函数和默克尔树，这样原文就可以保持中本聪原来的样子。Freeman Dyson 的戴森球笔记是另一篇单页论文：一个文明超出了它的恒星，于是把它包裹进一个收集器里，检查外壳的稳定性，并根据热力学第二定律，预测天空中将充满废热红外线，将其作为寻找智慧生命的策略。Luís 说，概念、工程、稳定性和探测方法，全都在一页纸上。他们还收录了 DNA 双螺旋和希格斯玻色子的论文。读者在那里未必能发现什么新东西，但这些文本应当被广泛阅读，并且在页边有帮助。

Grigori Perelman 把庞加莱猜想的证明作为三篇 arXiv 论文发布，而不是投稿给期刊，Luís 把这看作是对付费阅读科学的一种抗议。在他看来，Perelman 是数学家的一种柏拉图式理想：他在乎数学本身，也在乎公平的署名，却不把金钱放在眼里。二十多岁后期，他用四页证明了一个灵魂猜想，并在普林斯顿做过讲座。当系主任 Peter Sarnak 想招揽他，并要求他提供简历时，Perelman 反问，刚刚讲完一个难定理，为什么还需要投递简历。回到俄罗斯后，博士后的薪水远远落后于通货膨胀，以至于人们懒得去领支票。他在美国做博士后时攒下的钱，足够他用大约七年时间研究 Richard Hamilton 重新表述过的庞加莱问题。这是一个边界干净、几乎像奥数题的命题，正合他的口味。

2002 年之后，两位研究者（Luís 认为来自哈佛）磨平了 Perelman 论证中的一些棱角，并表现得仿佛已经解决了这个猜想。到 2006 年国际数学家大会时，关于署名的争论已经很真实。Luís 说，对 Perelman 而言，令他难过的是有人竟然会去质疑这件事。这足以让他拒绝菲尔兹奖。他后来还拒绝了克雷数学研究所（Clay Mathematics Institute）的一百万美元千禧年大奖：该奖项要求论文必须发表在期刊上，而且在 Perelman 看来，克雷研究所是一家商业机构，与数学毫不相干。Lex 在一间 MIT 的房间里听出了两种声音：人们谈论想法的声音，以及谈论资金、政治和署名的声音。对他而言，幸福就是待在前一种声音里。一旦关于分配的戏剧闯入，探索就已经被污染了。苏联时期的数学，靠微薄的报酬完成，却培养出了像 Perelman 这样的人；Lex 承认，资本主义同样运转得惊人地好。两者之间的平衡并不明显。贫穷对科学没有好处，一种连谈话都闻得到钱味的文化，同样没有好处。

Terence Tao 是另一个极端：一位公开的数学家，他的博客把研究、死胡同和失败的尝试都摆在任何人都能看到的地方。在研究 Erdős 差异问题时，他发布过一次停滞不前的进展。一位德国读者在评论中指出，这个结构有点像数独，而解数独的那套机制也许能用上。那条评论是关键。Tao 也写过早慧的代价。十岁左右拿到国际数学奥林匹克金牌，上课时不用看笔记就能拿高分，然后到了普林斯顿，缺乏学习习惯几乎让他的博士学业中断；他差点没通过资格考试，而与导师的一次谈话，“这样不行，你可能得离开”，成了一个转折点。Lex 把他与 Scott Aaronson 放在一起：风格不同，却都拥有同样的天赋，那就是一个博客，让局外人能看到一流头脑如何怀疑自己。这些内容从来不会出现在论文里。

Lex 说，费马图书馆的 Twitter 账号是通往兔子洞的暗门。João 对此的理论，是从数学的半衰期说起：欧几里得的《几何原本》在两千年前是正确的，今天依然正确，但大多数科学领域都做不到这一点。Twitter 作为学习场所还未被充分开发。一段紧凑的解释，会带来一种多巴胺的刺激，正是这种刺激让一场好的讲座令人上瘾，只不过这里被压缩进了 280 个字符。容易消费，却很难创作。一旦顿悟降临，人们就会回来。与课程或书籍相比，中途放弃的几率几乎为零。Lex 读到一条近期的帖子：23456789 是最大的、数字递增的素数。它让人瞥见了某种更大的秩序，任意而令人愉快。Luís 的说法是，他们就像数学界的毒贩：先让你尝到素数，然后把你整个下午都送进数论里。

Andrew Wiles 说过，大多数人只要能忍受卡住的状态，就能达到相当好的数学水平。João 把同样的话也用在研究和创业上。默认状态就是卡住，你关上一扇又一扇门，直到某一扇打开。Lex 认为，社交媒体让这种状态变得难以忍受，因为大脑总能逃向感觉更好的东西。有时你必须坐在卡住的状态里，忍受一点痛苦。João 引用 Ed Sheeran 谈写作：打开水龙头，先流出来的是脏水；你要让它一直开着，直到清水出来。最初的二十分钟大概都是垃圾，而你无法跳过它们。João 补充说，创业公司没有线性的回报函数。学校会用成绩回报努力，而一家公司可能承受一座山一般的工作量，却什么也不返还，就像西西弗斯的石头。大多数人并没有接受过这方面的训练，而且也没有清晰的规则告诉你何时坚持、何时转向。他那个不完美的测试是：当你没有牌可出时，就换。费马图书馆，他们把它当作二十年的副业，而不是三到五年的创业项目，因为有些科学工具是急不得的。Lex 说，如果把维基百科当作创业公司来经营，现在你每月得付 9.99 美元，而且在看完二十四篇文章之后就要付费。

在《权力的游戏》的最后一季期间，João 在一次公司午餐上，写了一篇认真的小论文，主题是临冬城之战。活着的军队中每有一人死亡，死亡的一方就多一名士兵；双方都从大约十万人开始。他写了微分方程，发现每名活着的战士都必须杀死大约 1.7 名敌人，才能不被淹没。没有龙，也没有战术，剧集用一名刺客解决了问题，但剧组中的一些人转发了这篇论文。Luís 喜爱的是这种设定的智识民主：边界显而易见，初始条件能写在一张餐巾纸上，没有专业训练的读者也能跟上推导过程。费马大定理也是同样的形式：一个中学生能看懂的句子。Luís 说，这样的问题让每个人站在同一条起跑线上。还有人拿来托尔金的中土世界地图，用城市之间的距离，论证这张地图可以落在一个你能估算出半径的球面上。Lex 开玩笑说，Jocko Willink 大概会以战术理由反对同质化军队的假设。João 从未声称模型里有龙。

当被问到最重要的问题时（两兄弟都是葡萄牙人），Luís 拿 Cristiano Ronaldo 作例子。他说，足球可以让纯粹的天赋在缺乏纪律的情况下登上顶峰；Ronaldo 有天赋，然后又以努力闻名，在将近四十岁时仍然保持精英水准，而他出身于一无所有。Luís 认为，人们不愿承认努力的作用，是因为如果成功来自苦功，那么失败就是自己的责任；如果成功来自神秘的天赋，那就与自己的选择无关。Lex 不同意。他喜欢 Ronaldo 的故事，也不打算假装赢球没有意义，但他关注的是一种美学上的闪光：一种天才，甚至不一定体现为进球。他的排名是：梅西，然后是马拉多纳，接着是贝利。马拉多纳的毒品和脾气并没有抵消他的伟大，缺陷本身也是这个人物的一部分。Lex 说，赢从来不是重点，那个时刻才是。

他曾尝试将这种东西量化。在大学时，他为体育领域做过机器学习研究，包括与波士顿凯尔特人队合作的摄像机追踪。他说，棒球之所以适合统计，是因为它是在可重复条件下的离散事件；篮球则是连续的流动；足球更难，几乎像一个泊松过程，每场一两球，成功的样本太少，无法据此排出名次。国际象棋可以衡量一步棋在棋树中的深度，也就是 Bobby Fischer 的“世纪之着”。对传球或假动作做类似的深度度量，需要计算机视觉，而棘手的问题在于镜头切换时的球员身份识别：一旦改变转播角度，三维重建就得重新开始。Lex 说，如果公开每一场梅西和 C 罗比赛的追踪数据，有趣的论文自己就会出现。

João 为一篇较早的篮球论文做了批注，那篇论文讨论的是“手感火热”（hot hand）。研究者调查了大约一百名本科生，其中大约百分之六十八的人相信，投进一次罚球会让下一次更有可能投进，然后他查看了大约五千次罚球，却找不到这种效应。球员只是第二次投篮时稍微更好一些，这是练习效应，而不是势头。João 在 Kaggle 上找到的大约六十万次罚球数据集上重新计算，也看到了同样的模式。他和 Lex 都同意，体育是一个受约束的心理学实验室：动作重复，结果可以测量，而且公众真的关心。这种组合在野外很少见。

给年轻人的建议，Luís 借用了庞加莱的话：父母应当教给孩子的东西中，就包括对世界奥秘的热情，难点在于剂量——要足够的惊奇，而不是创伤。从小处开始，让好奇心慢慢生长。你可能只是想知道数字怎样分解成素数；顺着这条线走下去，你会掉进数论，然后是密码学，有一天你会发现自己在买比特币。不要为了地位或金钱去做这件事。对他来说，一次又一次地满足好奇心，正是找到幸福和某种意义的方式。João 在欧洲上大学，他描述那里的体系很僵化：选了物理，就几乎不能选计算机课程。Luís 在美国学习，有更多空间去四处游荡。João 认为，好的教育应当随着学生的兴趣而变化，但前提是体系先要为探索留出空间。物理训练有一个隐藏的回报：经历过那么难的东西之后，金融也不再令人生畏。Lex 的版本更宽泛：数学或许是最难的，物理其次，但可以迁移的资产，是你做过一件困难的事，并向自己证明了你能做到。他以 Feynman 收尾：没有人能真正弄清生命是什么，这也无关紧要。去探索这个世界吧。只要你深入到足够的程度，几乎所有东西都真的很有意思。