Real Numbers：行进乐队挑战、伤害期望与贝叶斯定理

欢迎回到 Real Numbers。上一期介绍期望值后，我们将用它探索另一个涉及概率平均值的问题。

你正在为一支行进乐队拍照，乐队有 40 名成员，排成 10 排，每排 4 人。每位乐手独立地以相同概率选择从左脚或右脚起步。四人步伐一致的排数期望是多少？

附加题：假设恰好 20 名学生从左脚起步，20 名从右脚起步，但 40 人随机排成 10 排。步伐一致的排数期望是多少？本期把这两个问题留给观众。

期望值是随机过程各种结果的概率加权平均。它有一个有用的线性性质：E[X + Y] = E[X] + E[Y]，且对于常数 a，E[aX] = aE[X]。

一个公平的六面骰子的期望为 3.5。三个骰子点数之和的分布更复杂，中间值比极端值更可能出现。但无需计算这一分布，线性性质就给出 E[X + Y + Z] = 3.5 + 3.5 + 3.5 = 10.5。

上周的问题涉及电子游戏中的一只怪物，它以相同概率属于胆小、凶猛或致命类型。三种类型造成的伤害分别在 1 到 6、1 到 12 或 1 到 20 之间均匀分布。第一次攻击的伤害期望是多少？

对可能的怪物类型求和，可以计算每个伤害值的无条件概率。对于 1 到 6 点伤害，三种类型都能造成每个数值，因此每个值的概率都是 1/10。

只有凶猛或致命怪物能造成 7 到 12 点伤害，每个值的概率为 2/45。13 到 20 点伤害必须由致命怪物造成，每个值的概率为 (1/3) × (1/20) = 1/60。

将每个伤害值乘以其概率后相加：(1+…+6)/10 + (7+…+12)×2/45 + (13+…+20)/60 = 41/6，约为 6.833。

更简短的方法是把伤害分成胆小、凶猛和致命三部分；对于一只确定的怪物，只有其中一部分非零。三部分的期望贡献分别为 (1/3)×(7/2) = 7/6、(1/3)×(13/2) = 13/6 和 (1/3)×(21/2) = 7/2。根据线性性质，再次得到 41/6。

附加题询问，第一次攻击造成 4 点伤害后，第二次攻击的伤害期望是多少。虽然三种类型都可能造成 4 点伤害，但这一观察会改变各类型的可能性。我们必须更新先验概率，而不能直接沿用 41/6。

造成 4 点伤害的无条件概率为 1/10。根据贝叶斯定理，P(胆小 | 4) = [(1/6)×(1/3)]/(1/10) = 5/9；同理，P(凶猛 | 4) = 5/18，P(致命 | 4) = 1/6。

这些概率之和为 1，但现在更倾向于胆小怪物。三种类型都可能造成 4 点伤害，但这个值在胆小怪物较窄的伤害范围中占更大比例。相比之下，第一次攻击若造成 16 点伤害，就能确定怪物属于致命类型。

假设第二次攻击仍遵循对应怪物类型的相同分布，用更新后的概率对均值加权：(5/9)×(7/2) + (5/18)×(13/2) + (1/6)×(21/2) = 11/2 = 5.5。

现在回到行进乐队问题：分别计算每位乐手独立选择起步脚时，以及恰好各有 20 人选择左右脚、成员随机排列时，步伐一致的排数期望。请提交你的推理过程。