Real Numbers：考试间隔的期望与半场投篮挑战

欢迎来到 Real Numbers。我们的期望值系列以一道篮球题收尾：Danielle 以半场投篮结束训练，直到投中一球为止。

Danielle 半场投篮的命中率为 20%。她投中一球前的尝试次数期望是多少？附加题：如果她只有连续投中两球才停下，期望次数又是多少？本期把这些问题留给观众解答。

首先解答上周的问题。Jayden 有两场期末考试，每场都独立、均匀地安排在一周的五个工作日之一。两场考试相隔天数的期望是多少？

共有 25 种等概率的组合。画一个 5×5 表格，一条轴表示数学考试日期，另一条轴表示统计学考试日期，每个格子填入两个日期相隔的天数。

对角线上有五个零，表示两场考试在同一天。接下来的对角线上有八个一，再往外有六个二、四个三和两个四。四对应一场考试在周一、另一场在周五。

每个格子的概率都是 1/25，因此期望为 (5×0 + 8×1 + 6×2 + 4×3 + 2×4)/25 = 40/25 = 8/5，即 1.6 天。

如果增加第三场考试，直接列举 5×5×5 表格就比较麻烦。我们改为把工作日编号为 1 到 5。若 L 是较晚的日期，K 是较早的日期，间隔为 L − K，期望的线性性质给出 E[L − K] = E[L] − E[K]。

较晚的日期是两个日期的最大值。在最大值表中，等于 3 的格子有 3² − 2² 个：它们位于左上角 3×3 正方形内、2×2 正方形外。每个日期都遵循同样的规律。

将这些最大值求和，得到 1×1² + 2×(2²−1²) + 3×(3²−2²) + 4×(4²−3²) + 5×(5²−4²)。重新整理后为 125 − 16 − 9 − 4 − 1 = 95。

这种整理反映了一个一般性的尾和恒等式：对于非负整数值随机变量 X，E[X] 等于从 i = 1 到无穷大的 P(X ≥ i) 之和。将 P(X = i) 写成 P(X ≥ i) − P(X ≥ i+1)，再整理期望的求和式，就能得到该公式。

对于两场考试，较晚日期的期望为 95/25 = 19/5 = 3.8。把一周反转，即将第 i 天映射为第 6 − i 天，就会交换最早和最晚日期，因此较早日期的期望为 6 − 3.8 = 2.2。两者之差仍为 1.6 天。

对于三场独立考试，最晚日期小于 i 的概率为 ((i−1)/5)³：三场考试都必须落在前 i−1 天。因此 P(L ≥ i) = 1 − (i−1)³/125。

将五个尾概率相加，得到 E[L] = 5 − (1³ + 2³ + 3³ + 4³)/125 = 4.2。根据对称性，E[K] = 6 − 4.2 = 1.8，因此最早与最晚考试的间隔期望为 2.4 天。

还可以利用两场考试的答案，采取另一种方法。对于按时间排列的三场考试，最早到中间的间隔加上中间到最晚的间隔，等于最早到最晚的间隔。再加一次完整间隔，就可以看出三个两两间隔之和等于完整间隔的两倍。

无论哪门课最早，每一对考试的间隔期望都是 8/5 天。根据线性性质，间隔期望的两倍为 3 × 8/5，因此间隔期望为 3/2 × 8/5 = 12/5 = 2.4 天，与前一种方法一致。

回到本期挑战：Danielle 半场投篮的命中率是 20%。请计算投中一次所需的期望尝试次数；附加题则计算连续投中两次所需的期望尝试次数，并写出推理过程。