贝叶斯定理与驾照考试概率题

我是 Sawyer，欢迎来到 Real Numbers。在这里，我们用数学方法解决现实问题。这一系列概率题将引出贝叶斯定理，它是概率论的一项基础结果。

Evelyn 在当地机动车管理局负责笔试，并询问每位考生是否复习过。她发现 60% 的考生复习过，总通过率为 75%，而未复习的考生只有一半通过。一位考生刚刚通过考试，但 Evelyn 忘记问他是否复习过。这位考生复习过的概率是多少？

我们知道的条件概率是：考生没有复习的条件下，通过考试的概率，也就是未复习人群中的通过比例。我们要求的是：考生通过考试的条件下，复习过的概率。注意，我们交换了所关注的事件与已知发生的条件。

贝叶斯定理将 P(A|B) 与 P(B|A) 联系起来。在 Jane Street，一个应用是贝叶斯推断：根据经验数据评估多个模型的相对准确性。当 P(B) 非零时，定理为 P(A|B) = P(B|A) × P(A) / P(B)。

证明来自条件概率的乘法公式：P(A 且 B) = P(A) × P(B|A)。但 A 且 B 与 B 且 A 是同一个事件；“且”满足交换律。如果一个松饼又暖和又美味，它也就是又美味又暖和。

反过来写交集，就得到 P(B 且 A) = P(B) × P(A|B)。令两个表达式相等，再除以 P(B)，便得到贝叶斯定理。试着用它解决驾照考试问题。

现在来解答上周的 War 游戏挑战。Clara 拿着洗好的 13 张梅花牌，Damian 拿着洗好的 13 张方块牌。我们要求第一轮结束后，Damian 输掉方块 A 的概率。

A 在普通比牌中总能获胜，因此 Damian 只有在发生战争时才可能输掉它：双方第一张牌必须点数相同。无论 Damian 翻出什么，Clara 的 13 张等可能的牌中恰好有一张与之匹配，所以发生战争的概率是 1/13。

Clara 赢走 Damian 的 A 有三种互斥情况：双方先以 A 打平，Clara 赢得后续战争；双方先以非 A 的牌打平，Damian 的 A 在接下来的三张牌中，Clara 获胜；或者双方先以非 A 打平，接着在战争中以 A 打平，再由 Clara 赢得抛硬币。它们互斥，因为 Damian 唯一的 A 在牌堆中处于不同位置。

第一种情况的概率，是双方翻出各自的 A 的概率乘以 Clara 赢得后续战争的概率。移开两张 A 后，双方剩余的牌相同，因此对称性说明每人获胜的概率都是 1/2。结果为 (1/13) × (1/13) × (1/2) = 1/338。

第二种情况的各项因子是：Damian 的第一张牌不是 A，概率为 12/13；双方第一张牌匹配，概率为 1/13；他的 A 在接下来的三张牌中，概率为 3/12；再乘以 Clara 在这些条件下赢得战争的概率。如果 Clara 抽到自己的 A，她就会获胜；否则她剩余的牌与 Damian 的牌对称，获胜概率为 1/2。最终概率为 1/104。

最后一种情况是双方先以非 A 的牌打平，接着在战争中以 A 打平，再由 Clara 赢得抛硬币。其概率为 1/4056。三个互斥情况相加，得到 1/338 + 1/104 + 1/4056 = 1/78。结果如此简单，或许说明还有更直接的解法；你可以试着找一找。

回到本周的问题：60% 的考生复习过，75% 通过考试，未复习的考生通过概率为 50%。已知一名考生通过了考试，他或她复习过的概率是多少？欢迎你算出答案并分享推理过程；下周揭晓解答。