伤害期望值与黄金比例窗户谜题

我是 Sawyer，欢迎来到 Real Numbers。我们通常解答源自现实生活的数学问题，这一次的问题却来自一款视频游戏。你正在探索一片闹鬼的森林，遇到一只怪物，但无法从外表判断它的难度等级。

怪物有三种等级，出现的概率相同：胆小、凶猛和致命。胆小怪物造成的整数伤害在 1 到 6 之间均匀分布，凶猛怪物在 1 到 12 之间，致命怪物在 1 到 20 之间。三者外观完全相同。一只未知怪物的首次攻击平均会造成多少伤害？

附加题：假设这只怪物的第一次攻击造成了 4 点伤害，那么同一只怪物的第二次攻击平均会造成多少伤害？要解决这些问题，我们需要理解“平均”背后的数学概念：期望值。

n 个值的普通平均数是它们的和除以 n。例如，投出的 1、5、5 的平均数是 11/3。我们可以把它写成 (1/3)·1 + (1/3)·5 + (1/3)·5：这是一个加权和，其中相等的权重加起来为 1。

对于一个概率过程，期望值是所有可能结果的平均值，每个结果按其出现概率加权。换句话说，把随机变量每个可能的取值乘以该值的概率，再将结果相加。权重之和仍为 1，但不必相等。

对于公平的六面骰，1 到 6 的每个点数出现的概率都是 1/6。投掷点数的期望值是 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6 = 21/6 = 7/2。一次投掷实际上不可能得到 3.5，但这个数字概括了结果的分布。我们将在后续节目中讨论如何精确定义这个想法。

现在来看上周的问题：一扇窗由边长一米的正方形构成，其上边由以该边为直径的半圆取代，能穿过窗户的画作最高是多少？画作的宽大于高，所以我们将其宽度垂直于窗户放置。画作的高度与窗户平面相交成一条线段，我们要找出能放进窗户的最长线段。

我们可以通过找到实际可放入的线段，给答案设定下界。正方形的对角线长 √2，约为 1.414 米；窗户的垂直高度是 1.5 米。将下端移到一个角落，另一端仍放在顶部，可以得到 √((1/2)² + (3/2)²) = √(5/2)，约为 1.581 米。但这仍然不是最大值。

切线给出曲线在某一点附近的最佳线性近似。将左下角标为 A，半圆上的一点标为 B。当 B 从顶部沿曲线向右移动时，AB 会变长。继续移动，直到 B 点的切线与 AB 垂直。

与圆在 B 点的切线垂直的直线经过圆心 O。因此，最长线段经过 O，即正方形上边的中点。OB 是半径，长 1/2 米；AO = √((1/2)² + 1²) = √5/2 米。最大长度为 AO + OB = (1 + √5)/2，约为 1.618 米。

这就是 φ，也就是黄金比例，它是方程 x = 1 + 1/x 的正解。这样简洁的答案暗示着背后有某种几何原理，于是我寻找另一种解释，找到了与 19 世纪几何学家 Jakob Steiner 有关的点的幂定理。

该定理指出：对于圆外一点 P，任何经过 P 并与圆相交于两点的直线，P 到两个交点的距离之积都是常数，与选择哪条直线无关。对我们的窗户来说，取 A 为该点，直线与完整圆相交于 C 和 B。

当 B 沿上半圆移动时，AB·AC 保持不变。当它趋近左边缘的极限位置时，这两段距离都等于正方形一米长的边，因此乘积为 1。要使 AB 最大，就必须使 AC 最小，进而使 BC 最大；最长的弦是圆的直径，长度为 1。

在最优位置，AB = AC + 1，且 AB·AC = 1。代入 AC = 1/AB，得到 AB = 1 + 1/AB，恰好是黄金比例满足的方程。几何关系解释了这个数字为何出现，而不仅是通过算术得到它。

回到本周挑战：一只未知怪物是胆小、凶猛或致命类型的概率相同，伤害分别在 1–6、1–12 和 1–20 之间均匀分布。求它首次攻击造成伤害的期望值；附加题则要求在首次攻击造成 4 点伤害后，求同一只怪物第二次攻击的伤害期望值。