计算投中一球要等多久：五种解法

Danielle 每次练习结束后独立地投半场球，直到投中一球。每次命中概率都是 20%。她平均需要投多少次？直觉上，每 5 球投中 1 球似乎意味着答案是 5，但直觉本身并不是证明。

对于取非负整数值的随机变量 N，尾和公式是 E[N] = Σᵢ₌₁∞ P(N ≥ i)。Danielle 至少需要投 i 次，恰好意味着前 i−1 次都未中。由于每次投篮相互独立，P(N ≥ i) = (4/5)^(i−1)。

因此，期望次数为 1 + 4/5 + (4/5)² + ⋯。这个等比级数的首项为 1，公比为 4/5，所以和为 1/(1−4/5) = 5。在这个模型中，最初的直觉是正确的。

递归提供了另一种证明。第一球要么命中并结束，要么未中并回到与开始时相同的状态。若用 E 表示投篮次数的期望，根据第一球的结果分类讨论，就有 E = (1/5)·1 + (4/5)·(1+E)。

第一种情况恰好投了 1 次；第二种情况先投失 1 次，之后还需要期望为 E 的次数。化简得到 E = 1 + (4/5)E，因此 E/5 = 1，E = 5。未中后状态重置，才使这个递归方程成为可能。

我们也可以直接从期望的定义出发。模型允许 Danielle 在任意多次未中后继续投篮，哪怕已经投失一百万次。这并不能完美描述现实中的疲劳，但在模型中，这种极端结果的概率非常小。

她第一次在第 i 次投篮时命中的概率为 (4/5)^(i−1)(1/5)：先连续未中 i−1 次，再命中一次。因此 E[N] = Σᵢ₌₁∞ i(1/5)(4/5)^(i−1)。这是一个等差等比级数，因为整数系数随 i 增大。

为了求和，可以把每一项竖着展开成 i 个相同的项。这样每一行都是等比级数：第一行的和是 1，第二行是 4/5，第三行是 (4/5)²，依此类推。它们的总和仍然是 1/(1−4/5) = 5。

微积分提供了另一条路径。把 4/5 换成 x，保留因子 1/5，和就变成 (1/5)(1 + 2x + 3x² + ⋯)。当 |x| < 1 时，括号中的表达式是 1 + x + x² + ⋯ = 1/(1−x) 的导数。

求导得到 (1/5)/(1−x)²。代入 x = 4/5，结果为 (1/5)/(1/5)² = 5。这种方法不必把同一个无穷和重新排列成多行。

也可以通过长期实验让最初的直觉更精确。记录许多组先投失再投中一球的序列，每一行代表一次完成的练习。每次练习的平均投篮次数等于总投篮次数除以行数。

每个完成的行恰好包含一次命中。在大量样本中，命中次数占总投篮次数的比例趋近于 1/5，因此行数大约是投篮总数的五分之一。两者之比趋近于每次完成练习投 5 球。

加分题中，Danielle 要一直投到连续命中两球。指定的两球都命中的概率是 1/25，这可能让人猜测需要 25 次，但这种直觉没有考虑已有一次命中后又投失会发生什么。

设 X 为从头开始所需投篮次数的期望，Y 为已经投中一球后还需投篮次数的期望。第一球若命中，花费 1 次并进入 Y 状态；若未中，花费 1 次并回到 X 状态。因此 X = (1/5)(1+Y) + (4/5)(1+X)。

在已经投中一球的状态下，下一球有 1/5 的概率命中并完成任务，也有 4/5 的概率未中并回到起点。因此 Y = (1/5)·1 + (4/5)(1+X) = 1 + (4/5)X。

将这个表达式代入第一个方程，得到 X = 30。直觉答案 25 是错的：第一球命中后如果下一球未中，已有的连续命中就会中断，因此等待时间必须考虑重新开始。Sawyer 邀请观众寻找其他解法和推广。