期末考试周与使用过的滑雪板数量的期望值

摘要

30 秒看懂

Sawyer 询问两场独立安排的期末考试平均相隔多少天，并附带一道关于三场考试的挑战。他还解答了上一期的问题：从六块滑雪板中随机选用六次，使用过的不同滑雪板数量的期望值为 6(1 − (5/6)⁶)，约为 3.9906 块。

全文

对照原始文稿

Jayden 的考试独立且均匀地安排在五个工作日内。Sawyer 要求计算两场考试的预期间隔，附加题则要求计算三场考试的时间跨度。

我是 Sawyer，欢迎来到 Real Numbers。我们一直在探讨期望值，现在把它应用到学期末的期末考试周。

Jayden 有两场期末考试，每场都独立安排在周一到周五的某一天，每个工作日的概率相同。两场考试之间相隔天数的期望值是多少？如果考试安排在同一天，间隔就是零；周二和周五则相隔三天。附加题：求三场期末考试中，最早和最晚一场之间的平均时间跨度。

上一期的问题要求计算六天随机选择中使用过的六块滑雪板的数量。可以用表格记录不同数量的概率，但需要仔细计算。

首先来解答上周的问题。六天里，每天从六块滑雪板中随机选一块，Rachel 必须给每块至少使用过一次的滑雪板磨刃。我们要求的是使用过的不同滑雪板数量的期望值。

直接解法是用表格记录天数和不同滑雪板的数量。第一天结束时，恰好用过一块滑雪板。第二天有 1/6 的概率再次选中它，有 5/6 的概率选中一块新滑雪板。将计算继续到第六天，就能得到概率分布，进而求出期望值。

为每块滑雪板设置指示变量，记录它是否至少被使用一次。利用期望的线性性质，得到 6(1 − (5/6)⁶)，约为 3.9906。

还有一种更巧妙的方法：使用指示变量。条件成立时，指示变量等于 1，否则等于 0。定义 Xᵢ：如果第 i 块滑雪板至少使用过一次，Xᵢ 等于 1；否则等于 0。使用过的不同滑雪板总数就是 X₁ + X₂ + ⋯ + X₆。

例如，如果只使用了第二块和第四块滑雪板，那么 X₂ 和 X₄ 等于 1，其他指示变量都等于 0，它们的和就是 2。根据期望的线性性质，总数的期望等于各变量期望之和。而每个指示变量的期望，恰好就是其对应条件成立的概率。

某一块滑雪板从未被使用，意味着六次独立选择每次都选中了另外五块中的一块。这个概率是 (5/6)⁶，约为 0.3349。因此，它被使用的概率是 1 − (5/6)⁶，约为 0.6651。六块滑雪板的概率相同，所以使用过的滑雪板数量的期望为 6(1 − (5/6)⁶)，约为 3.9906，略少于四块。

另一组指示变量统计当天选中的滑雪板首次出现的天数。将对应的等比数列相加，可以得到同样的答案。

我们也可以为每一天定义一个指示变量 Yᵢ：如果第 i 天选中的滑雪板在本周之前的日子里从未使用过，Yᵢ 就等于 1；否则等于 0。Y₁ 始终等于 1，因为第一天选中的滑雪板必然是新的。

要使第 i 天选中的滑雪板是新的，之前的 i − 1 次选择就都不能选中它。这个概率是 (5/6)ⁱ⁻¹。将六个指示变量的期望相加，得到等比数列 1 + 5/6 + ⋯ + (5/6)⁵，其值为 6(1 − (5/6)⁶)，同样约为 3.9906。

现在回到新的挑战：Jayden 的两场考试独立安排在工作日，它们之间的预期间隔是多少？附加题则要求计算三场考试中最早与最晚一场的预期时间跨度。本期把这两个问题留给大家解答。