我给你这些反馈，是因为我相信你

Lex Fridman 问斯坦福大学数学教育学者、youcubed.org 联合创始人 Jo Boaler，数学的美在哪里。她最喜欢的，是许多人甚至不把它算作数学的那部分：从不同角度看待问题、把它视觉化、找到不同解法的创造性工作。很多人以为数学只有一种方法、一个答案。她喜欢的恰恰相反：多种方法、多种看问题的方式，有时还有多个答案。她说，可惜的是，很多人从未见过这一面。

她对老师说，把最枯燥、最乏味的内容交给她，她能把它变成直观、有趣、开放的问题。事实证明，数学的任何一个领域都能这样处理。孩子们长期只吃数字这一道菜，实在是耽误了他们。在她的理解中，神经科学表明，解一道数学题会涉及五条脑通路，而世界上成绩最好的人，正是这些通路之间连接更多的人。用数字看问题，同时用图像去看，就建立了一条连接；用文字描述它，又建立一条；用实物把它搭出来，再建立第三条。她想要的，是她所说的数学的多维体验。

课堂上流行的一种划分，你是视觉型学习者，那就给你图画；你不是，那就给你公式。她认为，这是从科学中得出的错误结论。如果你觉得自己不是视觉型学习者，那么更重要的或许是让你接触视觉化的方法，好让大脑的那个部分发育起来。在这一点上，物理学家走在了学校前面。爱因斯坦解题时不愿在没有视觉化思考的情况下行事，关于火车和光速的思想实验，首先是直觉。数学家接受采访时常常谈到直觉，但课堂上很少邀请它。Sebastian Thrun 曾跟她讲过一件事：为史密森尼学会造的机器人，正在接收白噪声。他凭直觉就知道问题出在哪里，而用数学证明它花了三个星期。

颜色是同一类中被低估的工具。如果一个代数式里有 x，就把这个 x 写成某种颜色，之后凡是出现 x 的地方都用这种颜色，这样关系就一目了然。在给小学老师的工作坊里，Boaler 见过有人第一次看到概念以视觉方式变得清楚时，甚至哭了出来。他们一辈子都没有意识到，原来可以用这种方式真正理解事物。

Fridman 问，数学应该容易还是难。Boaler 认为挑战很好，但有一个前提。应对难题的关键，是知道自己做得到。在她看来，教育中最具破坏性的想法，是人要么天生有数学脑，要么没有。孩子第一次遇到困难时，就以为自己没有那个脑子，于是真的关机了。从那一刻起，事情就每况愈下。只有当你知道必须穿过困难才能到达，并且相信自己能做到，挣扎才会变得有用。信念必须先到位。

这也是教书如此艰难、又如此少被珍视的原因：三十个想法各异的学生，有人不喜欢困难的事，有人确实需要另一条路。单向的课，这里是数字，这里是方法，看我做，然后照做，会把全班分成喜欢这种游戏的孩子和不喜欢的孩子。如果从视觉、数字和文字多个入口打开这门学科，就有更多孩子能进得来。与生俱来的差异，就不再是一纸判决。

Fridman 在苏联长大，他说自己很早就被逼着学数学，并且是在被逼之下爱上它的。有两点一直留在他身上。一是一种对卓越的崇拜：成功意味着在那门课上真正出色，而不只是比昨天好，这更接近美国人对体育明星的态度。二是相信每个人都有能力成为杰出的人，如果你没有做到，那是你自己的责任，应该更努力。他甚至记得童年时一个半真半假的计划：发明一台时光机，好拿诺贝尔奖。遇到挣扎时，支撑你继续前行的，正是你可以成为杰出之人的这种信念。

Boaler 认为这一对比很有用。在美国，卓越同样受到推崇，但孩子们往往从各种渠道听到：你要么是能学会的人，要么是学不会的人。很大一部分孩子会断定自己属于后者，于是干脆不去尝试。改变这种想法，影响会很大。“只要努力就能到达”这句话也有它的弊端，她自己也承认：没能到达的人，会背上本不该背的责任。她会再加一句：人人都能到达，但他们既需要努力，也需要好的教学。许多人从来没遇到过能让这门学科变得可以理解的老师。至于延长数学课时，她赞成，前提是数学有趣、开放、多维。斯坦福的夏令营每节课有三个小时。筹备夏令营的老师担心，孩子们能否保持那么久的兴奋。结果孩子们不愿意去休息，也不愿意去吃午饭。

Boaler 说，孩子大约在五年级左右开始对自己和数学放弃，而初中阶段至关重要。小学低年级还让他们可以探索。五年级老师常常宣布，该为升入初中做准备了，成绩和考试随之而来。正是在这时，孩子们开始觉得自己不行。许多人就是在这几年里决定，STEM 是不是为自己准备的。每一年都重要，每一年都可能改变一条道路，但杠杆最长的地方就在这里。这也是她的夏令营专门为初中生设计的原因。

老师是否需要对每个孩子都来一段“我相信你，某某”式的单独鼓励？在一项针对高中英语课堂的研究中，每个学生都交了一篇作文，所有人都收到了诊断性反馈。研究人员在其中一半人的反馈末尾多加了一句话。一整年之后，这些学生的英语成绩明显更好。那句话是：“我写这份反馈，是因为我相信你。”Boaler 和老师分享这项研究时说，她并不是建议每篇作文都写上这句话。有一位老师问能不能盖个章，她说别把它做成印章。这句话的力量在于它是具体的，而且老师是真心的。学生坐在课堂里，会想：老师怎么看我？我能做到吗？这些话给得不够多，而且是无法伪装的。

Fridman 承认自己是个极端的完美主义者。当一个学生明显离“学好”还很远时，人很容易在心里放弃他。历史上有许多人，在很长一段时间里都表现糟糕，有的甚至很晚才开窍。你必须相信他们可以变得出色，同时也要告诉他们必须努力。Boaler 指着硅谷说：那里满是辍学的人，以及被贴上特殊需要标签的孩子，他们后来做出了非凡的创造性工作。她的解释很直接：学校体系被设计成看重那些能复述老师所展示内容的好记忆者，而把有创造力、往往更慢、思考更深的人推到一边。这些人很早就接收到“你做不到”的信号。他们之中，许多人后来做出了惊人的事。

Maryam Mirzakhani 是第一位获得菲尔兹奖（Fields Medal）的女性，她的工作完全是视觉化的。她的女儿以为她是个艺术家。Boaler 曾主持过 Mirzakhani 一名博士生的答辩，整整两个小时，几乎全是图形，她说自己好像一个数字都没看见。她想，即便带一个十三岁的孩子进去，这个孩子也不会把它认作数学。其他数学家说，Mirzakhani 把原本互不相连的领域连在了一起。她大约十三岁时在伊朗，一位老师告诉她，她学不好数学。Fridman 说，只需要一位老师。Boaler 告诉老师们，即使身处学区和教科书构成的破碎体系之中，一个人也能永远改变一个孩子与这门学科的关系。

一项研究发现，父母的数学焦虑程度能预测孩子的成绩，但前提是父母辅导了作业。这种机制很容易理解：焦虑的家长坐下来说，我上学时数学很糟，这种情绪就传给了孩子。Boaler 半开玩笑地引申出一个结论：如果你讨厌数学，那就别跟孩子一起做数学。youcubed.org 上有一份给家长的材料，讲的是怎样围绕这门学科与孩子互动。她跟家长说，即使你讨厌数学，也需要装一装：永远乐观，并且表现得乐意去做。

Fridman 想知道，希望孩子超过自己，会不会伤害父母的自尊。Boaler 没有见过担心孩子会比自己强的家长。她见到的，是对数学关系不好、不知道怎么帮忙，于是干脆抽身离开的家长。另一项研究显示，当母亲对女儿说自己上学时数学不好，女儿的成绩就会下降。孩子会接收到这些信号。即使是斯坦福的本科生，那些一直成绩很好的人，也是带着“数学就是一套要背下来、再照搬的方法”的想法走进来的。在父母亲身体验过另一种数学之前，他们很难改变孩子，因为在他们眼里，这门学科就是那个样子。

Boaler 是加州新数学框架五位撰稿人之一，这份框架主张“围绕大概念来教”。她说，现行的课程标准被教科书翻译成一个个狭窄的问题，然后再以完成这些问题来衡量成功。她朗读了一个例子：三年级的一个例子，关于单位正方形，有三条不同的标准。其中一条把边长为 1 的正方形定义为面积为一个平方单位的单位正方形，可以用来度量面积。对她来说，数学是由几个大概念及其连接构成的网络地图。课程标准把这张地图切成许多小碎片，再发放到学校。老师看不到这些连接，孩子也看不到。

新框架把从幼儿园到 10 年级的数学，都整理成大概念和它们之间的联系。三年级不再是 60 条标准，而是一小组概念，比如方砖、测量、分数、形状、时间，以及它们如何相互连接。如果一位老师这学期的大概念是测量，她就不会去读五条程序性陈述，而会问：哪一个丰富而深入的活动，真正能教会测量？孩子们花几天做这个活动，许多其他数学自然就进来了。她说，要围绕大概念来教，而不是围绕一堆短小的问题来教。

她不赞成把成绩和考试当作日常的教学工具。课程结束时的一个成绩，是合理的总结性评价。美国的数学课堂却每周甚至每天都在打分。技术让她自己的孩子在高中时的处境更糟：所有东西都被打分，在线成绩册里实时可见，孩子们一走进下一节课，分数就更新了。她把这称为一种表现文化：你在那里是为了表现，有人在衡量你，你还看得到自己的分数，这不利于深度学习。更好的期中工具，是一份能显示一个单元数学学习历程的量规（rubric）。孩子们自评；老师标注他们能做什么，并写下接下来可以尝试什么。这样，他们不再被贴上 A 或 B 的标签，而是能看清自己在数学上处在哪里。学期末，当然可以给成绩；学期中，给的应该是信息。

Fridman 最好的一些课，是有位教授注意到他的某项兴趣，并额外给了他一些东西。有一次教授用了反向激将法：我觉得这件事做不成。他于是全力以赴去做。这种特别的待遇很珍贵，但他承认，在一个坐满了人的教室里，这是很难指望的。Boaler 把话题拉回老师真正能做到的事。重要的立场是：在你发下活动之前，你并不知道谁会在哪件事上表现出色。在夏令营里，学生提前做完时，会被要求写一个类似的、但稍有不同的问题，或者把问题延伸下去。有一次，一个男孩在学了不同大小正方形的边界之后说，他一直在想五边形。她没有预料到这个问题，也没有为他留出延伸任务。她告诉他这太棒了，去把它搞清楚。

同样一句话，在不同孩子身上产生的效果截然不同。当有人说他做不到时，Fridman 反而来了劲；另一个孩子可能就垮掉了。教书之难，正是因为这一点。她第一次见学生时会做的事（youcubed 网站上有一段视频）是：给他们看几秒钟七个点的图，在他们来得及数之前把图拿走。她说：告诉我有几个，但别数，去把它们分组。然后她在教室里走一圈。一个三十人的班里，大约会有十八种看待这同样七个点的方式：一圈外框套着中心的点，几条纹路，若干线段。她把所有方式都写在黑板上。她说：看看这个，我们班有三十个人，却用十八种不同的方式看见了这七个点。

这项能力有个名字，叫成组感知。一个人的成组感知有多好，就能预测他的数学成绩有多好。她不认为这是天生的；有些孩子是后天发展出来的，而且这是可以学会的。在她看来，这也说明学校的数学评价有多么错误。我们给孩子计时做乘法口诀，来判断谁是好学生。而观察他们怎样给点分组，也许是一个更好的信号。无论对小孩还是研究生，都可以做同样的任务。除了那些点子，这堂课真正教给人的是：在这个教室里，你看待问题的方式会被认真对待。

Boaler 在《Limitless Mind》里认为，21 世纪需要的是一种灵活的思维。学校的重点应当放在如何灵活地面对问题上，方法本身只是次要的。人们很少把数学和创造力放在一起，而她偏爱的正是这种搭配。她喜欢 Leonard Mlodinow 的《Elastic》一书，讲的也是这一主张。学校在培养这种思维上几乎毫无作为，却大力培养电脑如今能处理的那类思维：记忆和套路。孩子离开学校时，电脑会把这些事做得更好。创造性、灵活的思考，对机器来说仍几乎为零。人类的大脑恰好非常适合它。她希望学校的这种平衡能够改变。

别人也是这种转变的一部分。2019 年，也就是新冠疫情前不久，她给 100 名斯坦福本科生讲微积分，并教他们合作。大多数人一开始是抵触的。他们过去的经历只有竞争式的单独作业，或者一个人包办一切的小组作业。他们走进课堂时，还带着满满的相互比较：旁边的人更好、更快，想到了我没想到的东西。团队用了四周时间去消除这种心态。前后测验时，他们拒绝了限时的个人考试，而是把一道应用题交给两人一组，每人用一种颜色的笔，不许交换。第一轮作答时，纸上出现了一块红色区域和一块绿色区域，各做各的，成绩也不理想，即使是初中或高中生，也本可以开始做这道题。

四周后，还是同一道题，还是同样的颜色。这一次他们真正开始合作，而合作的人表现更好。学生们写道，他们学会了重视别人对一道题的想法。Fridman 举 Daniel Kahneman 为例。第一次见面时，Kahneman 几乎对自动驾驶一无所知，他出于真正的好奇，一个问题接一个问题地提问；不到十分钟，他们就一起尝试解决驾驶的问题了。合作是一种技能。你得把自尊和自己的世界观放到一边，去了解对方是怎样看问题的。Boaler 补充了另一面：如果你坐在那里心想，那是个了不起的主意，他比我厉害多了，那你就无法吸收这个想法的价值。斯坦福的学生正是卡在这一点上。Fridman 还发现，一旦走到更多人面前，赞美别人远比在一个小圈子里证明自己最聪明、拒绝承认别人也很聪明，更有回报。

Fridman 为纸质教科书辩护：漂亮的插图、纸张的气味，还有翻开它的方式。对他来说，高中是他一生中最快乐的学习时光之一，微积分、生物、化学、物理、解剖、莎士比亚、计算机科学，一连串地涌来，那时还没有人告诉你该如何规划人生。Boaler 并不反驳这段记忆。她自己也喜欢过一些书。不过，许多数学教科书并不是好的体验。在 youcubed 夏令营的一段视频里，一个学生说，在数学里你必须照着教科书走，它有点像圣经。周一做 2.3.2，周二做 2.3.3，你从不偏离。孩子们喜欢夏令营的地方，恰恰是那里没有书。他们仍然会拿到纸，却感到自由，因为他们不用机械地跑完一道道练习。

Fridman 承认，2.3.2 这种结构有它的好处：一种进步感，一道难题终于被解开，一章算是结束了。Boaler 也接受，在教科书里仍然可以有很好的体验。关键在于里面装的是什么。她在英国长大，那里的数学不会一年学代数、一年学几何。她认为，除美国外，没有哪个国家这样分。看着孩子们学一整年代数，她觉得自己大概会很无聊。把这门学科切成代数、几何，再切成 2.3.2，与把大概念的地图切成标准，是同一种做法。碎片容易排课，也容易考试。学习者却始终看不到全貌。

为什么英国人说 maths？她说，mathematics 本来就是许多个数学：几何、概率，是一门多维的学科。复数形式在缩写中保留了下来。美式英语把它变成了单数，常见的说法“do the math”基本上是指算一下，她不喜欢这种说法，因为数学不一定只是计算。对她来说，maths 保留了更宽广的感觉：许多分支、许多方法、许多看问题的方式。

Boaler 受到 Sebastian Thrun 第一门 MOOC（大规模在线课程）的启发，爱上了网络授课，并推出了一门免费的暑期数学教育课程。她不知道会不会有人来上。结果三万名数学老师报了名，大家互相交流、分享，课程一下子火了起来。正是这件事，推动她和联合创始人 Kathy Williams 创建了 youcubed：学员们结束课程后问，接下来做什么？大约五年后，网站的访问量超过了 5200 万人次。这个机构的使命，是把教数学的好想法分享给老师、学生和家长，子目标是消除数学焦虑，并让人看到这门学科的美与创造性。

她说，学术界其实已经对如何把数学教好知道很多，期刊、研究、论文都有，可是老师们并不读。这些东西藏在付费墙后面，写得又很难懂。整个行业在研究如何教好，却没有告诉正在教书的人。youcubed 的做法是转译：把研究变成课程，给孩子做视频，给家长提供建议。受 Hour of Code 的启发，他们做了一个“激励数学周”，请老师试上一周。这个方案被下载了数百万次，常常是新学年的第一周。老师们反馈说，孩子们的眼睛都亮了。可是一周过后，大家打开教科书，眼里的光又灭了。

她很想把那一周延长成一整年。斯坦福的团队人手很少，没法为每个年级、每一天都做出富有创造性的视觉化任务。不过，他们确实花了五年时间，辛苦地做出了一套 K 到 8 年级的书，内容围绕大概念、丰富的活动和图像组织，在接受采访时刚刚完成。有些老师把它当作枯燥教科书的补充，有些老师则把它当成全年的教学内容。她的个人目标是，让每位数学老师都知道 youcubed 的存在。找到它的很多人心存感激，但仍有很多人并不知道它就在那里。在教学方式上，她从 Udacity 学到一条硬道理：讲话不超过五分钟，然后就让人动手做点什么。半小时的视频是观众走神的时候。类似 MIT OpenCourseWare 的讲座作为获取资源的途径很好，但她认为 Udacity 的节奏更有效。早期 MOOC 让教育普及化的梦想，并未完全实现，因为修 MOOC 的人往往更有特权。要触达其他人，仍有许多工作要做。

从学生的角度看，Boaler 推荐的第一个学习习惯，就是别再通过重读来复习。人们看过老师的讲解，觉得讲得通，就以为自己懂了，然后翻篇。直到去做一道题，才发现自己其实没懂。她说，神经科学家建议，要不断地给自己出题。测试自己，是了解自己真正掌握了什么的更好方法。同样道理，作业也不该是再多做二十道题。应该让孩子带着问题回家反思：今天的大概念是什么？什么难？哪里卡住了？什么让人兴奋？很多学生学了好几年数学，题目都做对了，却不知道这个主题是什么，为什么重要，以及它在现实生活中在哪里用得上。

Fridman 把这一习惯推到了更高的层次。孩子会一层层地追问为什么，大人却停下来了。Boaler 引用了一项她觉得令人难过的研究：学生在学校里提出的问题数量，大致呈直线下降。低年级时，你拦都拦不住他们；但慢慢地，他们学会了不再提问。她自己的一段记忆非常清晰，清晰到她还记得当时坐在哪里。那是跟一位新来的高中数学老师上的第一节课，老师说，有问题就问。她举起了手。老师说了句类似“这就是你的问题”的话。之后她在那门课上再也没有问过问题。那位老师是数学系主任。她猜，他恐怕完全没意识到自己的影响。教书之难，就在于连语气都有分量：一个糟糕的日子，加上一句话，就可能影响几十年。youcubed 的应对办法，是把孩子们的问题贴到墙上，并为它们喝彩。

这种力量的另一面，是一位能让人留在这门学科里的老师。对 Boaler 来说，那位老师是 Mrs. Marshall，她在英国读 A-level 时的数学老师。英国的学生在十六岁时会放弃大多数科目，只深入学三四门，这有点接近美国的硕士阶段专业学习。在 Boaler 的数学生涯中，马歇尔第一次给他们出题，并让他们彼此讨论。十七岁时，Boaler 和朋友们坐在一起，琢磨如何解一道题。改变就这么发生了。她开始听到别人看问题的方式，而他们一起想出了解法。这是一种教学方法，私下的打气跟它没有关系。老师不必说一句鼓励的话，只要改变课堂的组织方式，就能改变孩子与数学的关系。

Fridman 提到 Cal Newport 的《深度工作》（Deep Work），以及充满干扰的世界。Boaler 的回答，是给孩子真正深入的问题，哪怕只是偶尔一次。她培训老师时，会发下一道题，并说一个小时后来检查。老师们都很震惊。过了一个小时，他们会问，怎么一个小时就过去了？大多数孩子学了多年数学，从来没有以这种方式做过一道题。她在斯坦福的本科课程里，每节课都这样做。学生们离开时说，他们再也不想回到那种只追求快速答案的数学关系里。老师不必每天都这样做。但他们确实得让孩子们体验一下慢下来、钻得更深的感觉，而不是被告知：你有五分钟，要做完二十道题。

Fridman 说，能静下心来专注本身就是一种技能，是一块可以从五分钟练到十分钟、三十分钟、一小时的肌肉。没有这种专注，你就永远到不了解题时那种令人上瘾的部分。一项调查询问学生，一道数学题他们会做多久才放弃并认定做不出来。学生的平均时长是两分钟。这更像是对一个从不让他们停留下来的体系的评判，而不是对智力的判定。

大规模的视觉化，有一张公众的面孔：Grant Sanderson，也就是 3Blue1Brown。Boaler 很喜欢他用程序做的动画。她开玩笑说，应该给他送些图去，让他做得更惊艳。这门手艺讲的故事和画面一样多：先给一个小例子，再来一个转折、一个意外，然后你就爱上了这个概念。Sanderson 说，他并不觉得自己是在讲授核心课程，而更像是点燃火花；Boaler 也同意，不能指望一个人把整套教学大纲都做成这种质量。他开源了 Manim，这是一个用来做方程和图形动画的 Python 库。代码的文档并不完善，但开源之后，很多人开始做数学视频，许多视频的播放量只有几个。对这些创作者来说，Fridman 说，教学的过程本身就是一种转变，这正应了 Feynman 那句老话：学得最好的办法就是教。Boaler 注意到，酒店里满是图案的地毯和墙纸。人类喜欢图案，也喜欢被打破的对称。数学正是这样一门学科，只要你让孩子们当个寻找规律的人。用“9 乘以 10”的思路来算 18 乘以 5，这是一个永远有效的规律。当这成了你的工作，这份工作就变得令人兴奋。

她还有一门面向孩子的免费短课程，叫《如何学数学》（How to Learn Math），共六节，每节十五分钟，展示数学的视觉性和创造性，外加一些心态与脑科学的内容。在一项随机对照试验中，学了这门课的初中生，与由相同老师教授、却没有学这门课的对照组相比，在数学课上的参与度提高了 68%，学年末的成绩也更好。总共是 90 分钟的视频。这算不上对教育体系的大改动，却改变了一段关系。

被问到给年轻人的建议，Boaler 知道这听起来有点老套：永远相信自己，并且知道你能做到。之所以值得说，是因为学校里有数百万孩子被告知他们做不到，成年人也一样。有人因为那些他们以为自己做不来的事，而选择了一份工作。当有人说，也许你可以，成年人也会回头重新学习，甚至转行。科学家一直在寻找人类学习能力的上限，却始终找不到。人们会越走越远。这也包括一些天生脑部某些部分功能不佳、被标注为有特殊需要的人，他们中的一些也做出了惊人的成就。她希望人们不只是把这句话说出口，而是真正深入地相信它。

Fridman 补充说，同样的陷阱也出现在成功之后。爱你的人会庆祝你已经做过的事，希望你继续做下去，而不是相信你能去做心里真正想做的那件更冒险的事。他很晚才意识到，年轻时主动寻找导师，让自己身边都是相信你的人，有多重要。你不会只是碰巧遇上一位顾问。身边的人决定你的轨迹，所以要选择他们，远离那些不相信你的人。父母可以爱你，却仍然把他们自己经历中的限制性信念压在你身上。Boaler 说，如果你对数学感兴趣，而父母对此不感兴趣，那就在这一点上别听他们的。在《Limitless Mind》里，她采访过那些被父母或老师告知自己学不好数学的人，后来这些人听到了另一种声音，发现了一整个数学思维的世界向自己敞开。找到相信你的人，哪怕这很难。

五十年或一百年后，她对学校的前景乐观吗？她有希望。教育的变化通常慢得几乎微不可察，但她看到了一些动静。现在，数据科学可以在高中阶段选修，来替代代数二（Algebra 2）。她说，美国高中数学的内容是 1892 年确定的，之后几乎没有变过。2014 年开发了一门课程，孩子们修了，没有出什么问题，他们照样升入大学。随后，加州大学系统给 5 万所高中发了邮件，说数据科学可以作为正规的大学升学路径，替代代数二，这是一个绿灯。她上次查看时，有 12 个州允许这样做，她预计第二年会翻一番。数据科学并不整齐地落在数学、计算机科学或统计学的任何一边，这也是它能被接纳的原因之一：它逼着人们回答，谁来教它，它该属于哪里。她设想一百年后，学科之间的界限消失了，编程像阅读一样被融入其中，孩子们在学习的同时创造和发现东西。今天这种工厂式的学校，从来就不是为了激发创造力而设计的。也许将来的人回头看，会觉得它很可笑。