陶哲轩：难题有十个难点，他先关掉九个

莱克斯·弗里德曼问陶哲轩，第一个让他停下脚步的研究级问题是什么。陶哲轩说，本科阶段列出的那些著名“不可能”，比如黎曼猜想、孪生素数猜想，不算数，因为问题可以随意变难，有些甚至已知无法解决。他读博士期间真正吸引他的，是一个卡在边界上的问题：现有技术已经完成了大约 90% 的工作。那个问题就是挂谷问题，如今它确实已经被解决了。

这个谜题可以追溯到大约 1918 年的日本数学家挂谷宗一。平面上有一根无限细的针，你要让它调转方向，同时尽量少扫过面积。让它绕中心旋转，扫出的圆盘面积是 π/4。驾校教的三点掉头用了 π/8，一度看起来是最优的。后来贝西科维奇证明，你可以用一连串精巧的前后摆动，让针以任意小的面积完成调头，而且它依然会经过每一个中间方向。面积可以小到 0.001，甚至更小。

到了三维，情况就变了。设想哈勃望远镜是一根管子，它必须指向每一颗星星，只不过空间不知为何变得极其宝贵。如果管子没有厚度，贝西科维奇式的改造依然能让它占用的体积任意小。如果管子有一个很小的厚度 delta，最小体积应当随 delta 变小而下降，但下降得极慢，大致是对数级别。经过大量工作，这个猜想被证明了。人们之所以在意它，是因为挂谷管会在波包、数论、几何和组合数学中反复出现。一个分散开的波可以聚焦到一点，再重新散开；如果挂谷猜想不成立，波可能会集中得异常剧烈，以至于支配它的方程根本不再是波动方程。

这种聚焦图景直接指向克雷数学研究所的千禧年大奖难题。不可压缩纳维-斯托克斯方程描述的是水的运动；奖题问的是，光滑的速度场能否在某一点集中到速度无穷大。这种事在浴缸里从来没人见过。陶哲轩说，近年来专家的共识渐渐倾向于认为，某些特殊的初始数据可能形成奇点，但还没有人证明。在七个百万美元的难题里，只有格里戈里·佩雷尔曼解决的庞加莱猜想已经被解开。

数学家与几乎所有其他人的分别就在这里。对大多数工作来说，一个说法只要有 99.99% 的时候成立，就已经够用了。数学家仍想知道，100% 的情形是否都被覆盖。描述空气的可压缩纳维-斯托克斯方程，已经处在天气预报的核心位置；不可压缩的奖题，则是机构每天都在做的那类计算背后，更干净的数学近亲。陶哲轩说，正则性问题之所以难，简短的理由就是麦克斯韦妖。

想象氧气和氮气在一个盒子里混合。它们应该保持混合，但原则上，每次碰撞中都可能存在一种微观的共谋，把它们重新分开。π 的数字看起来毫无规律，大家也都相信它没有规律，但在它的小数展开里，仍可能藏着一个妖，让某个数字比别的数字更常出现。流体的能量通常会散开，并被黏性吃掉；如果有一个妖不断把能量挤进越来越小、越来越快的涡旋里，就可能出现一种自相似的串级，每一次转移所用的时间都减半，直到所有东西在有限时间内爆破。真实的水是湍流的：一个涡会分裂成三四个，而不是一个，黏性最终会胜出。问题在于，一团足够聪明地选好的初始流体，能不能把能量维持在一起，久到足以爆炸。

许多论文都声称，能量守恒加上黏性，应该不仅对纳维-斯托克斯方程，而且对一整族方程给出全局正则性。但这些论证都失败了，通常是因为一个无法修补的符号错误。陶哲轩无法在真实的流体方程中工程化地造出爆破，因为它们太复杂了，于是他在 2016 年发表了《Finite Time Blowup for an Averaged Three-Dimensional Navier-Stokes Equation》。他对相互作用做了平均：如果一个大涡可以把能量传给这个小涡或那个小涡，他就关掉其中一条通道，只保留另一条，同时仍然保持能量守恒。他通过改变物理定律，让流体爆炸了。这是数学家被允许做的事。

这个构造是一道障碍，它本身并不是答案。关掉一些相互作用，通常会让方程变得更正则。陶哲轩找到了一组精心挑选的删除方案，它仍然能强迫出有限时间爆破。因此，任何想证明真实纳维-斯托克斯方程保持光滑的人，都必须用到他那个虚构方程所没有的某种特征。难题往往附带十几种看似都能用的方法；在相近的方程上构造反例，能告诉人们哪些方法永远行不通，从而省下好几年的功夫。

他所利用的特征是超临界性。纳维-斯托克斯方程是线性黏性阻尼和非线性输运之间的一场拔河。尺度越小，输运就越压过黏性，这正是三维问题难的原因。二维情形中，苏联数学家拉德任斯卡娅在 1960 年代证明了不会爆破；那里的方程是临界的，即便在极小的尺度上，两种力的作用也大致相当。临界和次临界方程有一大套正则性工具可用。一旦非线性效应在精细尺度上占了上风，陶哲轩和后来的研究者就为许多超临界的近亲方程构造出了爆破。这也解释了为什么我们能把行星轨道预测几百万年，却预测不了两周后的天气：行星几乎可以当作质点，只有整体行为才重要。而天气是超临界的，在极细的尺度上发生着大量怪异的事。你没法只用一个温度和一个风速来描述洛杉矶，精细尺度上的信息，正是方程的核心所在。

一个朴素的平均爆破构造，只是尽可能快地把能量推到下一个更小的尺度。这在五维及更高维可以成立。在三维，陶哲轩发现能量会同时涂抹在许多尺度上，这就给黏性留下了可乘之机。他需要的是气闸：先把能量推到下一个尺度，等较大尺度上的能量清空，再打开下一道闸门。为了强制实现这种延迟，他构造的非线性项看起来像一个电子电路。他感谢妻子，她是电气工程师，给他讲电容、电阻和时钟。结果是一台用数学写成的鲁布·戈德堡机器，而且它对平均方程真的有效。

同样的逻辑也提示了一条针对真实纳维-斯托克斯方程的思路。如果水的脉冲能像比特一样相互碰撞，你也许就能造出与门，再造出图灵机，然后是流体版的冯·诺依曼机：一个水做的机器人，它的任务是组装一个更小的自己，把全部能量灌进那个副本，然后关机，再重复。方程有一种标度对称性，所以每一代都会运行得更小、更快，在有限时间内就会出现爆破。陶哲轩把这称为白日梦。他还没有这些逻辑门，模拟式的纠错非常棘手，而且他也不知道怎样干净利落地关掉那台大机器。这个构造并不违背任何物理定律，这本身就是爆破可能存在的证据。还有其他团队在追求更简单、接近自相似的情景，它们也许不用这些蒸汽朋克式的东西就能成功。

先例是康威的生命游戏。业余爱好者社区仅凭三四条局部规则，就找到了滑翔机、滑翔机枪、逻辑门、图灵机，甚至能自我复制的庞然大物。你没法把这些数字化的小玩意直接搬进连续介质，但它们表明，计算可以从简单的动力学中涌现出来。陶哲轩说，难点在于前期准备。随机的细胞搭不出滑翔机枪，典型的流体数据也不会进行计算。这里反复出现的一个挑战，是结构与随机性之间的二分：大多数对象看起来是随机的，只有少数带有模式，而逆定理就是用来检验一个对象属于哪一类的。要么对象没有结构，要么它接近某个有结构的东西，两种情况下，你都能找到下一步的办法。

1970 年代证明的塞迈雷迪定理，就是这种二分的实例。任何具有正密度的整数集合，都包含任意有限长度的等差数列。奇数之所以显然包含，是因为它们有结构；而一个由随机抛硬币决定去留得到的整数子集，看不出任何规律，却仍会因涨落而包含这些等差数列。这就是披着数论外衣的无限猴子定理：无穷多只猴子在打字机前敲键盘，几乎必然会敲出《哈姆雷特》。陶哲轩说，无限能掩盖许多罪过。

现实中没有任何东西是真正无限的。数学家把无限看作一个没有可用上界的有限量的理想化，这种“球形奶牛”式的想法，往往让代数更干净。它也会制造陷阱。有限和可以任意重排；无限级数却可以被重新排列成另一个和，这就是为什么本科生要花一整年去学 epsilon 和 delta。近年来，人们开始把无限定理有限化：不只是说“最终会成立”，还要说“要多久”。一大群有限的猴子，需要等待的时间会随目标文本的长度呈指数增长，这就是为什么你永远看不到猴子写出《哈姆雷特》，却可能看到它们敲出一个四个字母的“脏话”。

无限陈述一旦被有限化，陶哲轩觉得它直观多了。代价是变得混乱。无限版本通常先被发现，几十年后，定量的速率才出现，形式更加笨重，但它更贴近我们真正计算所用的有限世界。

按陶哲轩的说法，科学是三样东西之间的互动，这三者我们始终没能完全合为一体：真实世界、我们不完整的观察，以及我们写下来的心智模型。数学生活在模型之内。它问公理能推出什么，模型做出什么预测，这些预测是否与数据吻合。几乎所有其他学科都是从想要的结论出发的，造一座桥，赚一笔钱，预测一颗小行星的轨道，然后去寻找通向它的路径。推想小说大概是另一个会经常问“如果……会怎样”的地方。物理学仍然要预报明天的天气；而数学还要从假设出发，向外推。

数学内部同样是理论占主导。陶哲轩估计，理论大约占 99%，实验只是很小的一部分。不过，高斯其实早就雇人类计算员去制作素数表，并由此猜出了素数定理。组合爆炸是暴力方法仍然失效的原因：{1, …, 1000} 的子集有 2 的 1000 次方个，比任何机器能枚举的都多，国际象棋也是同样的毛病。AI 现在可以探索这些空间，但不提供保证。国际象棋引擎已经用经验推翻了开局的教条，却没有给出一个局面为什么好的形式化解释。陶哲轩希望数学能长出一个更大的实验分支，也许正由同样的工具来驱动。

陶哲轩认为，现实、观察和模型在本质上仍是不同的东西，但只要我们愿意丢掉最初的直觉，它们就可以越来越接近。天文学就是一个例子：最初的模型是平坦的地球，因为它第一眼看上去就是平的；然后是旋转的球体；再后来是膨胀的宇宙，而且膨胀的加速度可能都不是恒定的。好的理论本质上是一种压缩。用十个参数去拟合十个数据点，是过拟合；用一个大约 14 个参数的暗物质模型去拟合 PB 级的数据，则恰恰相反。陶哲轩转述爱因斯坦的一句话：宇宙最不可理解的地方，在于它竟然是可以理解的。普适性从数学上提示了原因：一个盒子里的百亿亿个粒子，最终只归结为温度、压强和少数几个旋钮。当输入弱相关时，中心极限定理能解释钟形曲线；而当输入不再弱相关时，就会出现 2008 年的金融危机。漂亮的高斯 Copula 模型，并没有让任何人躲过系统性冲击。

菲尔兹奖得主、也是陶哲轩的朋友蒂姆·高尔斯，称陶哲轩是当今最接近希尔伯特的人。被问到数学是否有潜在的结构时，陶哲轩把统一视为推动进步的真正引擎：几何和数论原本是分开的，直到笛卡尔用两个实数坐标来描述平面，二者才连在一起；代数和几何后来也在代数几何中相遇。他自认为是狐狸。刺猬只懂一件事，却懂得极深；狐狸则什么都知道一点，擅长套利，把某个领域的技巧搬到缺少这种技巧的领域。理想的合作需要两种人兼备。陶哲轩看到一个定理，如果证明用到他不喜欢的工具，他常会用自己的工具重新证明一遍，通常证明得更差，但借此才看清原来的证明想做什么。

陶哲轩在普林斯顿读研究生时，听过康威的讲座。他记得，自己最早参加的研究讲座之一，就是康威讲的“极端证明”。康威把一个定理的所有证明看成一个空间，然后去寻找其中的极端点：最短的那个，最初等的那个，或者在别的某个维度上最极端的那个，每个都以牺牲其他性质为代价。陶哲轩说，这让他明白证明是一门手艺。本科作业只奖励任何能用的证明，只要打勾就行。但如果想让结果有影响力、被人读到，它还应该读起来愉快、动机清楚，并且便于推广，就像好代码不该是一团意大利面条。代码高尔夫看似无聊，却常常能产生你在没有这种人为约束时看不到的洞见。

对陶哲轩来说，美在于联系，它不在于堆砌著名的常数。欧拉恒等式之所以可爱，是因为它把 e、π 和 i 聚到一起；他真正欣赏的是：指数增长、旋转，以及复平面里的直角转折，竟然是同一种运动。符号相撞，本身就是一种确认，说明你给对了对象命名。物理学也曾不得不从能量上学会这一课。牛顿讲的是力、质量和加速度；后来守恒量才走到中心，哈密顿力学则让哈密顿量成为完整决定整个动力学的对象。正是这种隐藏的核心地位，使得跨入量子力学成为可能：薛定谔方程再次由哈密顿量驱动，只是哈密顿量变成了算符；而诺特把对称性与守恒量联系起来的那条纽带，在换了装束之后依然存在。

陶哲轩相信，量子力学与广义相对论终将统一，因为物理学一向都在统一，麦克斯韦、牛顿以及其他人都做过。但现有的两个理论已经覆盖了我们能做的 99.9% 的观测，要看到它们的偏差，你必须去极端的粒子加速器，或者早期宇宙。当爱因斯坦需要弯曲空间时，黎曼几何已经在那里等着他；维格纳所说的“数学不合理的有效性”，正是好的物理理论与好的数学对象总以同样的方式组织数据。弦理论曾是几十年的领头候选，但陶哲轩认为它正慢慢失宠，因为它无法与实验相符。类比始终是回到直觉的唯一途径：一个篮球、一个高尔夫球和一盏灯，仍然可以解释日食和月食。他最近和格兰特·桑德森合作拍了一个视频，讲古希腊人如何测量月球的距离，所用的方法你可以在家里照着做。现代科学是自己成功的受害者：它离我们第一眼的直觉越远，就越需要扎根于现实。

陶哲轩自己在爱因斯坦的领地里的工作，是波映射方程，也叫 sigma 模型。它在层级上比引力本身低一些。想象空间中每一点都固定着一支箭头，箭头被限制在球面上，它们像一片被风吹动的麦穗那样摆动。2000 年，他针对这个临界方程证明了一个全局正则性结果：能量不可能被全部强迫集中到一点，只要稍微分散开，之后就会保持光滑。来自球面曲率的非线性是非微扰的；即使在能量很小的时候，它看起来也比线性的波动效应还大。他发明了一种规范变换，想象在各处放上随运动一起移动的微型相机，直到剩下的流看起来几乎是线性的。他是在澳大利亚拜访姑姑时找到这个变换的：他闭着眼睛趴在地板上，假装自己就是那个向量场。姑姑走进来问他在做什么，然后决定不再追问下去。

他把这种方法称为有策略地作弊。一个受命在河上架桥的工程师，不能把河挪走，也不能用纸来造桥；数学家却可以随意改变问题，就像玩一款有无限作弊码的电子游戏。把一个大的维数设为一，假设误差项为零。如果有十件事让你的日子变得艰难，就关掉其中九件，只留一件，然后换个组合再来。他小时候看香港动作片，里面一百个打手总能一个接一个地和主角过招。要是他们一拥而上，电影会难看得多，主角也可能输。你不会在钢铁侠模式下去解一个正常的数学问题。

他的主要工具仍是纸、笔和四块大黑板。他把黑板写满只有自己看得懂的符号和涂鸦，然后坐到沙发上，看整面墙。电脑慢慢进入他的工作，是因为 AI 大大降低了小型编程任务的摩擦。以前画一个迭代次数适中的函数，要花两个小时折腾 Python，现在只要十到十五分钟。他做的探索仍然很简单。黑板依然是一个问题变得清晰可见的地方。

Lean 看上去像 Python 或 C，不同之处在于，它除了运行，还能输出一个证明对象。Python 程序可能告诉你 3 加 4 等于 7；Lean 则能为每一步附上证书。证明助手（proof assistant）并不是新东西，但数学家参与了 Lean 的设计，让一行代码看起来像一行论证。实际使用起来，就像向一位极其较真的同事讲解证明：你是这个意思吗？如果这个是零会怎样？X 是什么类型？它的类型推断是老派的树匹配，而不是语言模型；内核被刻意保持得很小，以便几个不同的编译器都能检查同一份代码。现代 AI 只是叠在上面，大多充当花哨的自动补全。陶哲轩用 GitHub Copilot 扫描他的 Lean 编辑区，它大约 25% 的时候完全正确，10% 到 15% 的时候接近到可以稍作修改，大约一半的时候则完全没用。他估计，把一个证明形式化，仍然要花掉手写证明大约十倍的工夫。

当一个常数发生变化时，这种较真就有回报。一个被形式化的定理里出现了一个常数 12，它必须在整个论证中保持一致；后来一篇论文把它改进成了 11。在纸上，你必须逐行重新检查，生怕某处悄悄用到了旧的数字。在 Lean 里，他们把主定理中的 12 改成 11，重新编译，然后看着几千行代码中仍有 90% 保持通过。红色的部分恰好告诉他们该改哪里。在良好的编程习惯下，修复只花了一两天，而不是三周和二十个人。鼠标悬停看定义，也比翻回十页前去找要快。真正的社会变化，是原子级的协作。陶哲轩可以卡在第 67 行，贴上三行报错的代码，然后收到一位素未谋面的人给的一个技巧。Lean 提供了信任，使他能和不可靠的陌生人一起做数学。

格林-陶定理代表的是旧式协作：本·格林已经证明了素数中长度为三的等差数列；陶哲轩则掌握着处理更长等差数列的遍历理论工具。两人不断讨价还价，直到找到一个随机性假设：格林能够证明它，陶哲轩也能用它。Lean 蓝图则是另一种模式，像一条供应链：图中的每个节点都是一条自包含的引理。目前 Lean 的大部分工作，仍是把人类已经证明的定理形式化。等式理论项目展示了规模化之后会发生什么。大约 4000 条代数定律生成了约 2200 万个蕴含问题，远超文献中此前约 15 个方程的纪录。没有人能检查这么多证明，所以这个项目必须计算机化。大约 50 人参与，按数学界的标准，这已经是个庞大的数字，他们已经解决了除两对之外的所有问题，而那两对已经有纸笔证明，正在被形式化。十年前，博学计划使用了布尔巴基式的笔名 DHJ Polymath，这个笔名后来在两件事上都行不通：终身教职评审不认，署名也不被认可；外人提起时只会说出最有名的参与者，忘了其他十九个人。这一次每个人都是作者，并以自我报告的贡献矩阵来标注分工；陶哲轩不希望 GitHub 上的代码行数出现在任何终身教职评审材料附近。古德哈特定律依然适用。

DeepMind 的 AlphaProof 通过强化学习（reinforcement learning）训练，学习 IMO 题目中成功与失败的 Lean 证明。IMO 题目属于非常高水平的中学数学，它最终达到了相当于银牌的水平。陶哲轩印象深刻，但不动感情。难度随步数急剧上升：如果在 20 步的证明中，每一步都有 10% 的概率走错方向，几乎不可能走到终点。把非形式化的英文映射成形式语言，本身仍是未解决的问题；就连 Lean、Coq 和 Isabelle 之间的互相翻译，也还没有解决。这个系统每解一道中学数学题，要耗掉大约三天的谷歌服务器时间，还额外花了时间，并依赖人类帮忙把题目形式化，因此无法规模化。数值答案型比赛更适合强化学习，因为评分只是一位信息：对或错；而长篇非形式的证明，则需要一大批人类评分员。

陶哲轩认为，人类仍然独有的工作一直在变化。推算复活节日期、球面导航，以及一大堆本科数学作业，早在语言模型出现之前就已经自动化了；Wolfram Alpha 就吃掉了其中不少。让一个系统把 20 种标准的偏微分方程技术，逐一用到一百个相邻的问题上，这类规模化的工作，他预计会行得通。模型失败的地方，在于察觉自己走错了路。人类写的糊涂证明，一眼就能闻出不对劲。而大语言模型生成的数学可能表面上无懈可击，因为强化学习训练它去写看起来正确的东西，然后却以一种没有人会去尝试的愚蠢方式失败。程序员也知道，有些代码闻起来没有异味，却是错的。AlphaZero 对国际象棋和围棋的局面发展出了一种嗅觉，它却说不清为什么。如果一个助手能分辨出，某个有帮助的拆分，会不会把问题变成两个比原题更难的子问题，它也许就能开始和研究型数学家竞争。随机尝试几乎总会让问题变得更糟。

2000 年，蒂姆·高尔斯就设想过 25 年后的一段对话：人类与助手交换想法，机器检查一百种情况，或者指出 n = 46 有问题。陶哲轩用自己已经知道答案的问题试过这种对话。感觉就像赶猫：模型老是绕回它最喜欢的工具，他得和第 17 行较劲；提示加检查所花的力气，比一个人单干还累。他仍然预计会出现一次相变。形式化的工作量正在从十倍降到九倍、八倍；等它降到一倍以下的那一天，先用 Lean 写作就变得理性了；期刊可以为经过认证的论文加快审稿；Mathlib 也会进入良性循环而快速增长。LaTeX 在几年之内取代了其他所有排版工具，那就是类似的情形。

他在一份预测里写道，到 2026 年，会出现有 AI 参与的研究级论文，不是菲尔兹奖级别的工作，但包括真正的计算和验证。这已经发生了，只是很难分清功劳。工具大约能复制技能栈的 30% 到 40%：编码中的摩擦，还有嘈杂的文献综述，它仍然会在六条参考文献里编出四条。能正确写出相关工作一节，又将是一次相变，就像自动驾驶要靠足够的安全余量，而最后那一段路目前还缺少这种余量。这个十年里，他可以想象 AI 提出一个真正的猜想，把两件人们以为无关的事情联系起来。训练数据缺的是负空间：那些失败的猜想、修改过的版本，以及数学家从未发表过的尴尬尝试。他开玩笑说，这些模型将不得不去读研究生，去坐办公室答疑，然后把作业做错。

弗里德曼提到格里戈里·佩雷尔曼，他在很大程度上独自工作了七年，最终证明了庞加莱猜想。二维的故事大家都很熟悉：在二维里，球面是唯一一种每条闭环都能收缩为一点的闭曲面，环面就不行。庞加莱对有界的三维空间提出了同样的问题。奇怪的是，四维和五维反而更容易，先被攻克。组合方法和代数方法在三维里停滞不前，直到理查德·汉密尔顿提出里奇流：一个偏微分方程，它像充气一样让皱缩的气球膨胀，直到皱褶被抚平，或者奇点形成，这与纳维-斯托克斯方程里全局正则性和爆破之间的分岔如出一辙。汉密尔顿在二维情形中已经能够完成证明。但在三维里，这个流是超临界的。颈部的收缩可以被剪掉，但打成结的麻烦可能就不行了。

陶哲轩说，佩雷尔曼的关键一步，是引入新的量：佩雷尔曼约化体积和熵。它们在某种意义上扮演了能量在汉密尔顿力学中的角色，让问题变成临界的，从而使非线性项显得没那么吓人。然后，他对这个临界流的奇点做了分类，并说明了如何对每一种奇点做手术。这条推理链上的任何一步，都不是语言模型能从一百条死路中可靠挑出来的。佩雷尔曼一定有某种直觉，知道这条路线是对的，因为从 A 到 B 之间隔着好几年。

陶哲轩不是那样工作的。他像狐狸一样：如果一个问题陷入僵局，他就换一个问题，或者作弊，假定坏的情况不会发生，然后看看论证的其余部分是否还能成立。有时候错误也会带来收获。有一次，他和另外四位合作者以为两个月就解决了一个困难的偏微分方程，还计划好了要开香槟庆祝，结果却在一个引理里发现了第十三项，而它的麻烦程度超过了前面的十二项加起来。接下来两年，他们越来越绝望地尝试，最后找到一个避开这一项的全新策略。如果他们在第二个月就知道真正的长度，也许根本不会开始，就像哥伦布为通往印度的航线四处推销那样。陶哲轩把那些会吞掉一个人职业生涯的问题称为“数学病”，它们偶尔也有回报，但没有足够的韧性，他不建议去碰。基金申请书承诺的是取得进展，并不承诺把清单上的每个猜想都证明出来。

被问到哪个问题最让他挂心，陶哲轩没有选黎曼猜想。哪怕用上他所知道的每一个作弊码，它仍然没有路径；要让它有进展，别的领域得先出现突破。孪生素数则离他近得多。自然数在加法下很容易处理，在乘法下也很容易处理，而把两者混在一起，正是不可判定命题藏身的地方。孪生素数猜想问的是：一个素数加二之后仍然是素数的情况，究竟出现得有多频繁。格林和陶哲轩证明了素数中包含任意长度的等差数列，这是一种很稳健的规律：就算删掉 99% 的素数，这些等差数列依然存在，“像蟑螂一样”。孪生素数则稀疏得多，只需一次微小而选得精准的删改，就能把它们全部抹掉，同时素数定理依然成立。任何只依赖总体统计的证明，也必然会在那张被删改过的清单上失败。一个共谋几乎不可能被杀死；若是好几个共谋，它们会相互残杀。这正是有界间隙取得成功的原因：无穷多对素数之间的差不超过 246，因为你没法同时运行五十个共谋。剩下的那堵墙是奇偶性障碍。几乎素数已经被很好地理解；如果你能让真正的素数在某个好的几乎素数集合中所占的密度超过 50%，就能得到孪生素数，但现有技术跨不过这条线。陶哲轩很想突破它。哥德巴赫猜想以及一串相邻的问题，也都挡在同一堵墙后面。

考拉兹猜想是另一个简单的怪兽。奇数变成 3n+1，偶数减半，所有起始数都应当落入 4-2-1 循环。它的路径看起来像一个带有轻微向下漂移的随机游走，就像一家赔率对你不利的赌场。陶哲轩证明了一个统计定理：大约 99% 的输入最终会变得小得多。几乎必然成立的定理，总会留下一个例外，这就是那个可能会让流体爆破的麦克斯韦妖。Alex Kontorovich 等人提出，考拉兹轨迹也许能编码一台自我复制的机器。康威早已证明，更复杂的类考拉兹映射可以模拟图灵机；他甚至设计了一种图灵完备的语言 Fractran。黎曼猜想如果不成立，会震动数论，也会动摇那些建立在“素数看起来是随机的”这一信念之上的密码学。P 对 NP 则是一个元问题：肯定的答案可能会打开其他问题的大门；而现有证据倾向于否定，复杂性理论中则有大量的“不可能”定理，能一举排除整类方法。

陶哲轩发现，菲尔兹奖解决不了你桌上的问题，但它会让你进入体制之中。人们会向你索要意见，自由时间变少，社会契约也从证明技术性定理，转向指导和引领。他仍然拒绝了很多邀请。佩雷尔曼既拒绝了奖章，也拒绝了一百万美元，他说，如果证明是正确的，就不需要其他的认可；然后他就去圣彼得堡附近采蘑菇了。陶哲轩从未见过他，并认为这种选择是可以接受的。他还提醒人们，不要只记住那个走完最后一步的人。陶哲轩读研究生时，费马大定理的证明一经宣布，安德鲁·怀尔斯的信箱就被塞满了。现在，Kevin Buzzard 获得了一笔为期五年的资助，要把那个证明用 Lean 形式化，只依赖一位 1980 年代数论学者会知道的事实；那是一座代数对象之塔，离素数和陶哲轩能为高中生讲清楚的那些函数都很远。怀尔斯那七年的秘密攻关，是典型的刺猬式浪漫故事。陶哲轩自己的高效率，来自于在问题不肯就范时先把它放下，然后当某位执拗的合作者第五次尝试成功时，他就得收回自己说过的话。

在他看来，人类并没有专门的“数学器官”。人们只是把视觉、语言或游戏的回路拿来重新利用，这正是数学家会用不同路径证明同一个引理的原因，也是为什么单一的课堂教学方式对许多学生来说已经太迟了。他的建议是，在学校之外寻找拓展的机会：比如 YouTube、解谜论坛，还有扑克玩家真正需要的概率题；而借助 Lean，可以让业余爱好者像公民科学家发现彗星那样，贡献原子级的引理。编程看起来比现代数学更开放，主要是因为你这个周末就能打印出“hello world”。职业生涯也不会是终身只做一种工作；可迁移的技能包括抽象推理，以及在工具失灵时调试。他之所以学 Lean，是因为他曾经大力宣传语言模型与证明助手的结合，之后觉得有义务亲身去做；那是在与 Kevin Buzzard、Jordan Ellenberg 合办的一场研讨会之后，而那场研讨会正好赶在 ChatGPT 问世之前。结构化拖延法依然管用：先编一个更糟的任务，再用去做原本的事来逃避它。欧几里得仍然是最伟大数学家的有力候选，希尔伯特的 23 个问题仍在塑造这个世纪，而当没有任何技术适用时，下一步最好的做法是故意尝试一些愚蠢的办法。让他看到希望的，是年轻的学生，还有导航这件曾经让人丢命的难题，如今已经装在了口袋里。状态好的时候，数学共同体就是一个超级智能，没有任何个人能接近它的能力。