公平的 War 纸牌游戏与三辆出租车的概率

本周的 Real Numbers 问题涉及纸牌游戏 War 的第一回合。两名玩家各自洗牌并翻开最上面的一张；点数较大的一方赢得这次比牌，收走两张牌。

如果点数相同，双方进入“战争”。每人再发三张牌，然后翻开另一张进行第二次比牌。胜者收走全部十张牌；在这一版本中，如果第二次比牌仍然平局，就用掷硬币决定归属。战争是玩家失去牌组中 A 的唯一方式。

Clara 和 Damian 玩的是一个公平版本：Clara 拿走全部 13 张梅花牌，Damian 拿走全部 13 张方块牌，其余 26 张牌放在一边。两人各自洗牌。Clara 在第一回合赢得 Damian 方块 A 的概率是多少？我把这个问题留给你们解答。

可以用条件概率来研究这个问题。对于独立事件，两者同时发生的概率等于各自概率的乘积。更一般地，对任意事件 A 和 B，P(A 且 B) 等于 P(A) 乘以 P(B | A)。后者表示假设 A 已经发生时 B 发生的概率。

例如，掷一颗公平骰子。令 A 表示点数为偶数，B 表示点数大于三。每个事件的概率都是 1/2。已知结果为偶数时，可能的点数是 2、4 和 6，其中两个大于三。因此 P(B | A) 为 2/3，P(A 且 B) 为 1/2 × 2/3 = 1/3。

如果错误地假设两个事件独立，就会得到 1/2 × 1/2 = 1/4。实际联合概率大于这个乘积，因此这两个事件是相关的。可以将这个一般公式作为解答 War 谜题的工具之一。

现在来看上周的问题：六辆车中，每辆车是黄色出租车的概率为 1/2，至少三辆出租车连续出现的概率是多少？一种计算方法是从前往后检查车辆，同时建立一个表格。

表格的列表示第一到第六个位置。前三行跟踪当前连续出租车的数量是零、一还是二。第四行记录已经出现过连续三辆出租车；概率一旦进入这一行，就会留在那里。

对于第一辆车，连续零辆和连续一辆出租车的概率各为 1/2。在之后的每个位置，非出租车会将当前连续数量重置为零，而出租车会使其增加一。两种结果的概率各为 1/2。已经完成三连的那一行是例外：它是吸收状态。

每一列的概率之和应为一，这可以检查是否遗漏了概率。检查完第六辆车后，已完成三连那一行的值为 5/16。这就是车队中某处出现至少三辆连续出租车的概率。

第二种方法从中间开始。六辆车中任何连续的三辆都包含第三辆或第四辆。如果中间两辆都不是出租车，就不可能出现三连；这种情况的概率为 1/4。

中间两辆恰有一辆是出租车的概率为 1/2。根据对称性，考虑第三辆是出租车、第四辆不是的情况：此时要出现三连，第一辆和第二辆都必须是出租车。这个条件概率为 1/4。

如果中间两辆都是出租车，其概率为 1/4，那么只需要第二辆或第五辆是出租车。根据容斥原理，这个条件概率为 1/2 + 1/2 − 1/4 = 3/4。

将各情况相加，得到 (1/4 × 0) + (1/2 × 1/4) + (1/4 × 3/4) = 5/16，与表格结果一致。新挑战仍然留给大家：算出公平版 War 游戏中，Damian 在第一回合失去方块 A 的概率。