病毒离你有多远，要用“几跳”来算

Lex Fridman 向观众介绍 Po-Shen Loh：他是卡内基梅隆大学的数学家，国际数学奥林匹克美国国家队的主教练，教育项目 Expii 的创办人，也是匿名接触追踪应用 NOVID 的创办人。Fridman 希望的工具，是通过给人们自由和知识，而不是下达命令，来协调大量的人。谈话从天上说起。两人至今仍然惊讶于：一个金属箱子在气流颠簸中依然飞得稳，一部四十层楼的电梯不会坠落，一座由高楼组成的城市不会倒下。

Fridman 高中时常用牙签搭桥，就为了看哪种结构能撑住，这种乐趣本身就很有意思。这种感受还能放大：一座横跨水面的悬索桥提醒人们，每个人掌握的专业知识都很有限，都要依赖别人知识构成的网络。他把同样的层级套到软件上，从比特到汇编，到 C++，到操作系统，到 Python，再到机器学习。Loh 很能理解这种冲动。1990 年代末，他从零开始写了几款类似共享软件风格的游戏《Alien Attack》1 到 4，先用 Pascal 写，后用 C++ 写，因为他想看到一个想法一直被实现，直到真的能用为止。

当时没有字体库，连字母都是像素，用汇编语言一点点画出来，代码照着一本书抄来，那本书教的是如何在屏幕上画出一个彩色的点。Fridman 玩过这些游戏，是在一个模拟 MS-DOS 的浏览器里运行的原版 exe 文件。编程竞赛恰恰与成品相反：要在时间压力下写出一个极其高效的函数，它更奖励清晰的想法，而不是打字速度。Loh 至今仍然推荐参加竞赛。后来他想帮忙控制 COVID 时，一次靠竞赛训练养成的粗略估算表明：在一台四核云主机上，线性时间复杂度的算法可以服务几十万甚至几百万人。如果没有这一点，服务器账单会在项目长大之前就把它压垮。

把 Loh 引向数学的，和当年做游戏的那股劲头是同一种挑战：一个看上去不可能完成的难题，但多下些功夫，也许就能攻破它，这与把人送上火星不同。Fridman 指出，人们常把“数学好难”当作抱怨，但任何严肃的运动、艺术或科学，要想做出点特别的东西，都是难的。Loh 把难分成两种。记忆型的难，是记住老师演示过的方法，考试时再照样套用一遍。发明型的难，是面对一个你无从下手的问题，然后找到一条路。前一种让人疲惫，后一种才是有回报的那种难。

他不想对任何人说“你照着这样做就行”。他更愿意说：这里有一个有意思的问题，我知道你还不太清楚该怎么做，你有什么想法吗？“看我示范，然后练上二十遍”，正是他反对的做法。如果更多人学会了纯靠思考来发明的艺术，他认为，他们可能就不再觉得数学令人疲惫，而开始觉得数学是能做的事：我面对一件自己不会做的事，可以想出办法来。

在卡内基梅隆大学，他走进教室时不带讲稿。课堂像即兴喜剧：学生提出想法，他顺着接下去，然后大家一起构造出一个由学生帮忙完成的证明。每个学期，同一个定理得出的证明都略有不同。远程授课的那个学期，他把讲课录像放到了 YouTube 上。他设计的网络课程无法现场进行，所以开头会提出一个略微够不着的问题，然后陆续给出自动提示，让学生仍然必须自己去发明。考试占成绩的 90%，允许带笔记，所有往年试卷都可以获取，并且他保证，今年的题目既不会与那些旧试卷重复，也不会与他讲过的内容重叠。第一次考试通常考得不好。到了第三次，学生们就已经学会了如何在这门学科之内进行发明。

2020 年 3 月，美国开始关闭，Loh 的团队——他坚持说这是一个团队，而且用户体验设计师从第一天起就是核心成员——开始思考：网络理论加上智能手机，再加上匿名化的健康数据，能做些什么？几个月后，他们偶然找到了一种控制疾病的不同方式。在历史的大部分时间里，方法是找出病人，找出和他们接触过的人，然后违背这些人的意愿，把他们从社会中移除。这种反馈回路与人类的激励相冲突。你无法引导 80 亿人去做每个人各自都不想做的事情。

他们把产品问题倒过来想。在一场大流行中，你希望的是什么？是尽可能正常地生活，不生病。所以应当做一款帮你“避免”生病的应用，而不是在你接触过有传染性的人之后，就把你移出人群的应用。障碍在于，COVID 在出现症状前大约两天就已经能够传播，你看不见谁病了。网络理论提供了一个替代指标：你是从某个人那里感染的。把你和病源之间隔着多少层实际接触，告诉每一个人。用英尺或秒来衡量距离，单位就错了。LinkedIn 式的“几度分隔”，这个看似简单的想法，解锁了另一种行为循环。

为了说明病情越严重，这个循环为什么会越强，Loh 请你想象一种经空气传播的出血热。谁会安装一个告诉你这种疾病已经在几层关系之外击中了谁的应用？绝大多数人都会。一位朋友指出了他最引以为傲的一点：病原体越致命、越容易传播，人们安装它的动力就越强，而如果你想让文明继续运转，这恰恰是个好特性。非正式的调查表明，随着人们看到疾病越来越近，他们会躲起来，并减少接触。

把可能有传染性的人称为集合 A，其他所有人称为集合 B。传统的接触追踪只对 A 施加作用。还有一种对称性：也可以让 B 中位于 A 边缘的人，自己从这个界面中退出。没有人需要被告知该做什么。Loh 把它类比为自由市场与中央计划的区别：让激励相互对齐，使纯粹出于自利的行为，也能为全局功能做出贡献。Fridman 在 2020 年对除了疫苗生物学家之外的每一个机构都很愤怒，他听出了这是一种利用信息、又不限制个人自由的设计。

NOVID 不被允许索取个人信息。他们确信可以不用 GPS，这让 Loh 有勇气去攻克这个问题。两部装了这款应用的手机通过蓝牙互相通信，估算彼此之间的距离，而这种相对的接近程度，就足以构建出物理接触网络。接触时长的估算方式，有点像拍电影：每隔 5 到 8 分钟拍一张快照，因为一款对电池负责的应用无法持续流式传输距离数据。在杂货店里与陌生人擦肩而过十分钟，在统计上是微弱的，而在他们的范式里，这种接触无关紧要。他们要做的是预测未来，对过去的损害控制并不在其中。反复的长时间接触能在采样中保留下来；而一次性的陌生人接触，则会被抹掉。

移动端的工作，不是常规的 UI 与网页服务器之间的对话。它要接入蓝牙，去完成手机本来并非为此设计的工作，而 iOS 对后台工作出了名地不友好。英国就撞上过这堵墙。Loh 的团队深入研究了操作系统文档，并为 NOVID 的耗电量很低而自豪，即便和苹果自家的系统相比也是如此。服务器端，参加竞赛的人和奥林匹克出身的人写的是 C++。人类也不过 70 亿到 80 亿。如果算法是线性或接近线性的，一个 1 GHz 的核心，每小时重算一次，也就是 3600 秒，就能跟得上。Fridman 反对说，n 的平方级别的可能边数会爆炸。Loh 的回答是稀疏性：平均每人值得追踪的强联系人，上限大约在一百个量级。他又把这个上限适当放大，以涵盖大学里的社交达人。

每个用户都能看到自己有多少直接联系人，但看不到这些人之间如何相互连接。他们还能看到第二层和第三层的人数。在大学的试点中，这张图表变成了一个推广循环：人们发现自己间接地与成百上千的人相连，于是就告诉朋友下载。触发点大约是每个典型用户有两三个直接联系人。用 Loh 的话说，他们是在用一款病毒式传播的应用，去对抗病毒，而且两者使用的是同一张网络。

这些信息能否让社会保持开放，还是仍然需要居家令？Loh 说他们还不知道，所以他们需要的是流行病学家，而不是一个宣布胜利的数学家。希望寄托在最终的局面上：病例很少，重新开放，病例回升，再次封锁，如此循环往复，直到疫苗终结它为止。即便有了疫苗，厂商也已经在谈论明年的剂量。那些负担不起每针 20 美元推广费用的地方，仍然需要其他手段。如果有些人必须出门，而另一些人可以躲起来，那么给每个人一个个人风险信号，也许就能把总体基本传染数（R0）拉到 1 以下，而无需强迫任何人。

从 2020 年 3 月起，Fridman 想要的是哪些活动真正有风险的信息，而非一张标注人体位置的 GPS 地图。政客说话时非常确定；他认为，科学家说话时也权威得过了头，而宣称自己很有把握、结果说错了，所摧毁的信任，比说一句“我不确定”会摧毁的还要多。其他接触追踪项目，包括谷歌和苹果的项目，都赢得了 Loh 的敬意。但它们的价值主张不同。安装一个标准应用，它会在你已经接触过病毒之后才告诉你，这样你才能去保护别人。那对你自己感染的概率有什么影响？几乎为零。他指出，自由市场资本主义并不是建立在利他主义之上的。一种让每个人都能最大化自身处境的机制设计，仍然可以对整体有所帮助。

当 NOVID 在一所大学推出时，第一个问题通常是人们是否知道它是做什么的。大多数人读过其他应用的报道，以为它会让他们隔离。“NOVID 从不会要求你隔离。”原则是：如果有东西正在靠近，就告诉你，让你可以自行决定要不要保护自己。如果你关上了门，那你是在从里面把门关上。Loh 来做这期节目，并不是为了让所有人都去安装它。它在当地卫生部门合作时效果最好，否则，高中生最爱的恶作剧之一，就是在期末周谎报一场大规模疫情。确认阳性的人会获得一个短期有效的通行码，精神上与谷歌和苹果的方案相似；没有通行码的人仍然可以自行报告，但会被标记为未经核实。公共卫生研究人员可以通过 novid.org 联系团队。菲律宾并不等于美国，部署必须由当地专家来主导。

Loh 在数学里觉得美的，是一种视角的转换，它能让看上去无解的问题突然结晶。NOVID 就是这样一次转换：用关系中的跳数而不是英尺来量化接近程度，其余的问题便迎刃而解。Fridman 用同样的图景去描述文明、推特上的信息茧房和推荐系统，然后把话题引向视角转换最干净的一个版本：国际数学奥林匹克（IMO）。它是全世界最有声望的大学预备阶段数学竞赛。题目不会只要一个“答案是 42”，它们是论述题：解释为什么这个你从未见过的奇怪事实成立。比赛两天，每天 4.5 小时，每天 3 道题。六道题中只要解出任何一道，就足以被视为获得荣誉奖的天才。

每个国家派出 6 名学生。国家排名是非官方的总分。成长于前苏联的 Fridman 说，在那里，IMO 是一种与摔跤或冰球相当的民族自豪感来源，训练强度与体操不相上下，而要击败俄罗斯或中国，难度大得残酷。美国并不这样看待它。Loh 认为苏联的投入是理性的：那些高中奖牌得主，后来有很多人做出了认真的研究。把一团乱麻拆解成一颗简单晶体的能力，是解决真实问题的工具。Fridman 补充说，当时的文化把发明看作人人都可能做的事，而不是天赋班那样的特殊通道，代价是巨大的压力。

Loh 认为，要传达“做思考者是件好事”的信息，并不需要威权主义；美国人为橄榄球练得已经够狠了。2013 年，美国数学协会（MAA）请他担任主教练，他对执行主任说，他们大概还能找到更糟的人选，毕竟他不会把成功定义为赢。他得到了一个有大约六十名优秀头脑参加的夏令营。他想要做的，是尽量提高二十年后《纽约时报》会报道其中多少人的概率。这也是为什么他们中的一些人后来投入了 COVID 的相关工作：二三十年后，他自己未必还有精力，而下一场灾难将需要挺身而出的人。

每道题值 7 分，共 6 道题，满分 42 分，过程中如果写出了正确的事实，还能获得部分分数。评分是一场谈判。东道主国家会派出约五十名评委。代表团要和两三名东道主代表坐在一起，花半个小时，依据一份评分细则逐条协商。Loh 说，美国队不会往上讨价还价。有时他们反而会要求“更少”的分数。试卷以各种语言送来；蒙古语的答卷，由蒙古语教练向看不懂的人解释。这就像一个陪审团，而其中的成员有时并不使用同一种语言。美国代表队用英文书写，让所有人都看得见，这使作弊变得很难。他们希望其他国家也同样干净，而且他们更在乎流程的每个环节都在教授一种通用的能力。

Loh 把难度量化为路径上洞见跳跃的数量，也就是视角转换的次数。每一次重新表述，都会让搜索空间大幅扩张。跳跃的次数是指数，底数是你可能尝试的可能性数量。三次洞见的问题，并不等于一次洞见问题的三倍难度，因为在第一次跳跃之后，你仍然不知道自己是否走在正确的路上。这些需要多次跳跃的问题，正是奥赛中最难的题目。

上大学时，他读数学书读得很差：一大页全是正确的句子，读完却不知道自己读了什么，也不明白别人是怎么想到这些的。他的解决办法，是先看定理的陈述，再看证明有多长，然后合上书，自己试着重新证明一遍。证明的长度大致与洞见的数量成正比，因为每个洞见都要占去篇幅。短的证明意味着只有一个洞见，因此可以去逐一寻找。在竞赛中，他会扫一眼一道题是第一题、第二题还是第三题，然后用同样的方法估计跳跃次数。这个规则只是近似的，而且在同一本书、同一门学科之内效果最好。两页的证明，仍然意味着：这会非常难啃。

Fridman 提到 Andrew Wiles 为费马大定理花了七年时间，与那些感觉像跳跃、又可能是死路的想法相处。Loh 说，这正是职业研究者被吸引的原因：奋斗的痛苦，以及当洞见最终串联起来时的那种感觉。短期来看，即使明知绝大多数想法都是死路，两人都会享受那种“这也许就是答案”的兴奋。只要还有新洞见不断到来，Loh 就还没有撞上墙。他的博士导师 Benny Sudakov 在苏联时期的格鲁吉亚长大，从他那里，Loh 学会了选择那些即便成功也可能真正重要的问题——这也正是他们投入 COVID 研究的原因。他的研究生同学、斯坦福大学的 Jacob Fox，则教他在完成一个证明之后要追问：我们发明了什么，能不能用到别的地方去？

被问到数学是被发现的还是被发明的，Loh 站在“被发现”这一边。他被那些看起来简单、实际上残酷地难的命题所吸引，费马大定理就是典型的例子：一个小孩都能读懂的命题，为什么能抵抗几个世纪？他怀疑，如果另一个有智能的物种互相交流，它们也会注意到圆周率很重要。你可以说人类喜欢圆，是因为我们的感知方式；但恒星和行星也喜欢圆。圆就是一个点加上一个恒定的距离，它无法再简化。Fridman 想知道，要让两个心智对齐需要多少工作，不只是符号层面的对齐，并提到 Stephen Wolfram 和他的儿子曾为电影《降临》中的语言出过力。视觉化的证明，来回的对话，“这个概念你理解吗”，也许是唯一可能的对话。

Fridman 说，François Chollet 那类类似智商测试的任务，对人类来说很容易，而对 AI 很难，原因与奥赛题相同：你必须察觉一种对称性，或者发明一个你之前没有见过的规律。那种能做到这一点的智能是什么？Loh 看着原始的搜索空间，称它巨大无比。强者解题时，有一种棋手式的启发式，会让他们不去分析某条路线；如果你问他们，他们会说出一些听起来对的话，而这大概只是他们大脑所计算的函数的一部分。去问 Garry Kasparov 为什么某个局面好，得到的是一番话；但这些话并不等于完整的评估。他不确定，一台从零开始构建的计算机，是否会长出与神经元拓扑结构所生长出的同样的倾向。他说，他的专业知识也不足以假装自己知道相反的答案。

为了让学生看到想法从哪里来，他在 YouTube 上现场解答初中竞赛题，而且是第一次看到这些题。目的在于让发明的过程可以被听见：为什么这一步是直觉的，为什么那些错误的路线是错的。他确实会卡住。直播聊天区就是为此而设的。学生们提出尝试的方向，有些建议比其他的更有力；如果他卡住了，他就去评论区找线索，而他愿意出镜，做那个解不出这道题的教练。

Loh 认为，每个学生都能掌握这种技能。初中正是合适的时机，因为分数、乘法和三角形的面积，已经足以开始注意到那些让希腊人兴奋的巧合——当年的毕达哥拉斯定理还是一项发现，而不是家庭作业。几何是他最喜欢的入门方式：它是视觉化的，就像计算机视觉一样，而且是学校里最早邀请人去证明的科目。组合数学在几何中出现，是最让他兴奋的事。Fridman 也很爱几何，他遗憾的是，几何在课程中出现得很短，之后便消失了，直到很久以后的课程才会再见。

要让一个人感受到发明的力量，就要给他一个他不知道怎么做、但可以去思考、然后最终能解出的问题，让他亲身体验从“做不到”到“做得到”的转变。对于那些放弃了数学的成年人，他推荐的是州一级的真正的初中竞赛题。它们难到即便是并非以此为业的专业人士，也会感到吃力。可以去搜索 MATHCOUNTS、mathleague.org，以及美国数学协会（MAA）的 AMC 8、10 和 12 的旧题。他自己的 Po-Shen Loh 每日挑战（Daily Challenge）是要收费的，收入用来支撑他的其他工作；它面向的是初中竞赛式的思考：先给一道有意思的题，想一分钟，给个提示，再想一分钟，再给个更大的提示，然后是几种不同的完成方式，并悄悄带上一个额外的概念。那些初中时没参加竞赛的高中生，仍在用它来学习如何思考，而不必听坐在前排的那个孩子两秒钟就抢答出来。

他一直在问，自己现在能做到哪些一年、一个月或一周之前做不到的事，无论是在数学上还是在别的方面。Fridman 一直在用 Anki，每天留出十到三十分钟，不查资料，单凭常识去思考一个与工作无关的问题，比如枪支管控，借此锻炼他所说的“思考肌肉”。Loh 的实用版本是：如果你有孩子，就去做州一级的竞赛题，用来教你的小学或初中孩子。他的妻子以前从没参加过竞赛，就是这样自学的。想学会一样东西，就去教它。他还把自己在卡内基梅隆大学的组合数学课免费发到了 YouTube 上；跟着学不需要微积分。对他来说，组合数学研究的是有限和离散的东西：图里一个节点要么有，要么没有，推理是迭代的、算法式的、归纳式的。他之所以选择这个方向，是因为 Benny Sudakov 看起来做的是有趣的工作，而且很关心学生，尽管 Loh 此前受过的训练是连续分析。

当某样东西必须服务大量人口时，计算复杂度几乎是第一个问题。这也是疾病控制的第一道筛子：要么是一台服务器，要么就没有这个项目。接着，Loh 拿出一篇关于投票树的论文。两名候选人很容易处理，很多候选人就是一团乱麻，这正是投票理论存在的原因。理论上的玩具是一套两两对决的淘汰赛，像电路一样连接起来，输入是候选人，每一对之间的偏好都是已知的。一个理想的结果是：获胜者被大量人偏好。

一个干净的事实：在 1024 名候选人中，总有一人能击败至少 512 名其他人。证明用的是一个平均化的技巧。如果每场比赛都给双方各加一分，那么每个人的分数都相同，都等于其他人的数量。只给胜者加一分，那么可分配的总分就只有一半，于是平均分是全体的一半，因此必有某人至少达到平均水平。这其实就是数学期望，只是换了身衣服。解释之后它显而易见，但若作为一个关于电路的论断，它却并不显而易见。

默认的电路是一棵平衡的二叉树：1 对 2，3 对 4，胜者继续比，一直打到 1024。这种电路可以被巧妙地钻空子。一个候选人只击败了通往冠军之路上的十个人，输给了其他所有人，却仍然可能被加冕。对于每一次选举，你都不能相信这样的接线。Loh 和合作者把保证的强度，从大约以 2 为底 n 的对数（log2 n），也就是路径的长度，提升到了 n 的平方根。理想的情况是 n/2；但在 1000 名候选人的情况下，平方根仍然是一次很大的跳跃。

构造里有一个小部件：候选人 7 分别与 A、B、C、D 对决，这些比赛的胜者再往上打。最底层的每一场比赛，都是 7 对某个人。如果 7 最终夺冠，那么 7 确实击败了整个那一组人。如果冠军是别人，比如 F，那么 F 在晋级路上的某个地方击败过 7。无论哪种情况，冠军所击败的人的集合都有一个下界。当被问到这是否能改善真实的选举时，Loh 不愿把它卖成一项改革方案。他所在的大学采用的排序选择制学生会选举，对他来说是说得通的；但要让一个更好的制度被采纳，就是机制设计，是让人性接受它，而那是另一场战斗。

一个夏天在微软研究院的工作，产出了一篇关于随机聚合（stochastic coalescence）的论文。设想一群人，每个人都知道自己睡了多少个小时，而你想要总数。一个一个地问，耗时与人数成正比。如果人们会做加法，他们就可以从底层开始搭建同样的树：1 和 2 相加，2 退出，1 保留总和；3 和 4 也这样做；然后 1 再与 3 交流。并行进行时，实际耗时就是层数，1024 个人只需十步，是对数级别的。取巧之处在于，要让人们在市中心里给自己编上“人 1”“人 2”的号，而这个编号本身是线性的。

一个精巧的分布式方案从每个人都是自己的代表开始，每个人的指针都指向自己。每一轮，仍持有指针的人掷一次硬币：要么去寻找一个愿意吸收自己的人，要么等待。寻找者随机挑选一个人，沿着委托链走，并做路径压缩，直到找到一个代理。代理的带宽有限，只能接受一个请求，多余的请求会被拒绝。下一轮，只有剩下的代理再掷硬币。问题在于，寻找者撞上某一团的概率，与这一团的规模成正比，而不是在各团之间均匀分布。

这种偏向会制造一个瓶颈：一个巨大的团，加上大约 n 的平方根个单个个体。那个巨团每一轮只能吞并一个人，因此时间会退化到大约 √n。合作研究显示，这种不平衡确实会出现，因此纯粹的对数时间是不成立的。一个小小的修补可以解决它：当一个代理被多个团同时求爱时，接受最小的那一个，而不是随机选一个。这就足以把各团的规模拉平。Fridman 听出了一部宪法的意味。与其搞一棵高度为一的树，让每个人都投票选总统，你不如把某个议题委托给真正了解的人，然后他们再继续委托下去，于是一张代表网络就从底部生长出来。图论里令人兴奋的定理大多产生于二十世纪；他认为它的应用属于二十一世纪，正如 NOVID 分发疾病信息那样。

P 是否等于 NP？Loh 不知道。在卡内基梅隆大学的理论学者中间，他已经学会了分辨自己哪些问题还不足以回答。Fridman 引用了 Scott Aaronson 的看法，认为 P 等于 NP 的概率大约为 3%。一个具体的数字，就像“42”那样牢牢地留在脑子里：它足够高，值得在意；又足够低，让人觉得这是一场长线的赌注。对于一个几乎分不清 1% 和 50% 的物种来说，这种感觉尤其明显。人类也很难直观地理解指数增长，这正是大流行常常让我们措手不及的原因之一。谈到书籍和故事，Loh 没有开列书单。他的世界观受各种抗争的影响，有虚构的，也有真实的：《指环王》，以及大量二战历史，还有这样一个想法：一个足够执拗的人，可以从一个人开始，一次又一次地挺过逆境，有时一挺就是好几年。

他对年轻人的建议分为两部分。第一，要学会发明，而不是模仿。很多教育就是看别人做 X，然后用不同的输入重复 X。Loh 从来不喜欢严格照着指令做事；如果你说作业必须用铅笔写，他就会试试钢笔。第二，是从 Sudakov 那里学来的：要确保这件事足够大。一旦你学会了发明，就不要满足于舒适区。瞄准那些困难的、可能需要好几年的长期事业，而且它们可能真正重要。他不会用成功或失败来给自己打分。即使 NOVID 完全失败了，他也不会感到太糟糕——毕竟这是一个非常难的问题——但他会后悔没有跳进去。给自己一个争取无限机会的机会。

对他来说，意义是一个分数：在他不在了之后，他所做的事情，还有多少人年在持续发挥作用，无论这件事是否归功于他。这也是为什么我们今天仍在谈论牛顿。他后来做了重新归一化（renormalize）。他找到了一种比教科书更简单的解二次方程的方法；如果它进入了课程，被一种更简单的方法取代的可能性就很小，因此他的分数可能已经是无上限的了。少数人一辈子都在使用一个想法，或者数以万亿计的人在星辰之间用它十五分钟，这些只是同一种雄心的不同形态。他想要的是比自己活得更久的工作。人类是血肉做成的载体，携带想法几年，借用一大堆婴儿般的想法，偶尔发明出一个新想法，而那个想法随后就有了自己的生命。