Real Numbers：出租车挑战与计算睡眠概率的两种方法

欢迎来到 Real Numbers，我们通过现实问题探索数学。本周的挑战来到 Metropolis 的交通灯前，那里的车有一半是黄色出租车。

你和一位迷信的朋友想搭乘一辆出租车，要求它紧跟在一辆出租车后面，前面又紧挨着另一辆出租车。交通灯前停着六辆车，每辆车独立地以 1/2 的概率是出租车。至少连续出现三辆出租车的概率是多少？

首先来解答上周的问题。照看小狗 Fluffy 的五个晚上，我们每晚有 2/3 的概率受到打扰。至少睡好两整晚的概率是多少？一种方法是逐晚追踪概率。

画一张表，列表示夜数，行表示完整睡眠零晚、一晚或至少两晚。每个单元格记录经过该列夜数后达到对应状态的概率。由于我们只关心至少两晚，可以把更大的次数都合并到最后一行。

在零晚时，完整睡眠零晚的概率是 1，其他格子的概率都是 0。每过一晚，完整睡眠的计数有 2/3 的概率不变，有 1/3 的概率增加一。可以用单元格之间的箭头表示这些转移。

沿一条箭头转移时，将起始状态的概率乘以转移概率。一晚之后，完整睡眠零晚的概率是 2/3，一晚的概率是 1/3。

两晚之后，只有两晚都受到打扰，才会完整睡眠零晚。由于各晚独立，概率为 (2/3) × (2/3) = 4/9。

恰好睡好一晚有两种互斥的方式：第一晚睡好、第二晚受到打扰，或者第一晚受到打扰、第二晚睡好。每种概率都是 2/9，相加得到 4/9。

睡好两整晚要求两晚都不受打扰，概率为 (1/3) × (1/3) = 1/9。这一列的和为 4/9 + 4/9 + 1/9 = 1，符合所有可能结果的概率之和应为 1 的要求。

继续更新表格，直到第五晚，就能得到完整睡眠至少两晚的概率。我们不逐项观看所有计算，转而看看另一种基于计数的方法。

组合数学是研究计数的数学。完整睡眠至少两晚的对立事件是至多一晚：恰好零晚或恰好一晚。这两种情况互斥，因此从 1 中减去它们的概率之和即可。

完整睡眠零晚只有一种情况：Fluffy 五晚都打扰我们。其概率为 (2/3)^5 = 32/243。

恰好睡好一晚可以发生在五晚中的任意一晚。每种排列的概率都是 (2/3)^4 × (1/3)，这样的排列有五种。因此概率为 5 × (2/3)^4 × (1/3) = 80/243。

所求概率为 1 − (32/243 + 80/243) = 131/243，约为 0.5391。逐步计算的表格得到相同结果：我们有略高于一半的概率至少睡好两整晚。

现在试试新题：六辆车排成一列，每辆车独立地以 1/2 的概率是出租车。出现连续三辆出租车的概率是多少？请说明推理过程并提交答案。