Graham 和 Andrea 演示交易员模拟面试

Michael 介绍一场交易员模拟面试：经验丰富的 Jane Street 交易员 Graham 向较新加入的交易员 Andrea 提出一道过去真实面试中用过的问题。他们解释说，面试通常需要与面试官共同解决有挑战性的定量问题。Andrea 之前没有见过这道题；它目前也不再使用。

Graham 描述了一个单人游戏：一枚二十面骰子最初显示 1，游戏共有 100 轮。每轮玩家要么掷骰，替换当前点数，要么从赌场领取与点数相同的美元。目标是决定如何玩，并估算平均收益。

Andrea 询问掷骰是否有次数限制或需要付费。掷骰会消耗一轮，但没有其他费用。她最初以为领取奖金就会结束游戏；Graham 澄清说，游戏会一直进行完 100 轮，而且可以多次领取奖金。

Andrea 问领取后骰子会怎样。Graham 举例说，如果骰子显示 17，而她领取了 17 美元，骰子在下一轮仍留在桌上。她可以再次领取 17 美元，也可以选择重新掷骰。具体走一遍流程帮助她弄清了规则。

Andrea 考虑一直掷到 20，然后在剩余轮次反复领取 20 美元。平均约需掷 20 次才能得到 20。她最初把掷骰期间的收益也算了进去，但 Graham 提醒她掷骰和领取是二选一；她于是粗略估计剩余 80 轮可得 1,600 美元。

如果接受 19 或 20，平均等待约 10 次掷骰，接受的点数平均为 19.5。乘以剩余约 90 轮，得到约 1,755 美元，比只接受 20 的估算更好。这些只是粗略比较，不是对有限轮数的精确计算。

Andrea 尝试接受 18、19 或 20：每次掷中的概率是 3/20，平均等待略少于 7 次掷骰，接受的点数平均为 19。她粗略估计收益约为 1,767 美元。接受 17 到 20 平均需要约 5 次掷骰，但平均点数降至 18.5，收益约为 1,758 美元。

根据这些估算，Andrea 倾向于一直掷到 18 或更高，然后反复领取奖金。Graham 问平均值 19 从何而来；她解释说，接受的点数只可能是 18、19 或 20，三者等可能。

Graham 改变游戏规则：玩家领取后，骰子会被移除，因此下一次领取之前必须花一轮重新掷骰。Andrea 最初建议接受更低的点数，但她先询问领取与掷骰如何交替进行。

Graham 解释说，掷骰、领取、掷骰、领取会消耗 4 轮；玩家也可以在领取之前多掷几次。Andrea 接下来比较每次都领取下一次掷出的点数，与只接受 11 到 20 的策略。

接受最高的一半点数，平均约需掷 2 次，然后再花一轮领取。接受点数的平均值为 15.5，因此 100 轮中约 33 个周期可得约 511 美元。每次掷一次就领取，每个周期需要 2 轮，平均点数为 10.5，收益约为 525 美元。

Andrea 将问题推广到接受最高的 x 比例点数。她估计每个周期需要 1/x 次掷骰加一轮领取，因此约能完成 100x/(1+x) 个周期。用近似表达式 20 − 10x 计算接受点数的平均值，得到预估总收益 1000x(2 − x)/(1 + x)。

Andrea 没有在面试中做完代数运算，而是说她会求导、令导数为零，再检查结果是否为最大值以及是否优于基准策略。Graham 说，算出来的阈值是接受 6 或更高。他给出一个直观解释：如果平均每轮收益约为 5 美元，那么花一轮领取 7 美元就有吸引力。

第三个版本中，与第一个游戏一样，领取后点数可以保留；但赌场可以在每次领取后重新掷一次骰子，不消耗玩家的轮次。赌场希望尽可能降低玩家收益。Graham 请 Andrea 即使无法精确求解，也尝试分析这个游戏。

Andrea 确认赌场只能在她领取后重新掷骰；如果赌场不掷，原点数仍然可用。她设想玩家和赌场各自采用一个阈值，最终可能停在双方都不想改变的点数。

如果玩家采用接受 18 或以上的策略，赌场就会重新掷出高点数，打乱玩家保留点数的计划。Andrea 建议降低阈值，猜测均衡点在 10 或 11 附近，双方都没有太大动机重新掷骰。Graham 请她选择一个具体阈值，推演其结果。

他们考虑玩家在 10 或以上领取，而赌场在 11 或以上重新掷骰。为了简化计算，Andrea 也考虑双方都以 11 为阈值：较高点数对玩家有利，因此赌场在领取后重新掷骰；较低点数则让玩家自己掷骰。

Andrea 起初以为赌场会立刻重新掷出高点数，但 Graham 纠正说，赌场只有在玩家领取后才有这个选择。对于接受 11 或以上的阈值，她估计接受点数的平均值为 15.5，约能领取 50 次，全局收益约为 775 美元。

Graham 问她每轮收益是多少。按照每轮约 7–8 美元的估计，Andrea 意识到接受 8 或许也值得。他们测试接受 8 到 20 的阈值，其平均点数为 14，每次掷中的概率为 13/20。

Andrea 最初在预期等待时间之外又加了一轮领取。Graham 指出，赌场在领取后重新掷骰会免费给玩家一个新的随机点数，因此这个周期与第二个版本不同。他们按约 100/(20/13) = 65 次领取、每次 14 美元估算，得到 910 美元。精确的最佳策略仍未解决。

Graham 结束模拟面试，并指出真实面试可能还有其他问题，也会留时间让候选人询问 Jane Street 或实习情况。复盘时他说 Andrea 表现很好，但提醒观众，她已经有交易员经验，也熟悉这类问题。

他们花了一点时间才对第一个游戏的规则达成共识。Graham 说这没有问题：Andrea 一直澄清到自己理解为止，避免了在错误问题上投入大量工作。他也重视她说出思考过程，因为这展示了她的推理，并帮助他判断何时应该提示或纠正误解。

Andrea 记得自己的面试官也曾鼓励她说出思考过程；经过练习，这变得更加自然。Graham 说，不要求候选人像她那样说那么多，但交流自己的想法很有帮助。

Graham 还称赞 Andrea 把定量问题拆成更小的部分，并测试可能并非最优的策略。这种迭代、协作的方式类似交易部门里的讨论，也让她能够有效利用提示。

Andrea 回忆，自己早期面试前很紧张，但面试官让她放松下来，使面试更像令人兴奋的讨论。两人在结束时祝观众面试顺利。